Arc géométrique :
Le périmètre d'un cercle
de rayon R est 2πR :
Pour un cercle de rayon 1 on a donc un périmètre de 2π
( 1 cm, 1 mètre ou un unité quelconque fixée )
un arc est un partie du cercle délimités
par deux points de ce cercle, il est mesurable comme le périmètre
du cercle.
Pour les questions suivantes mettre tout les résultats demandés
en fonction de π ( noté
pi ),
les résultats doivent être mis sous la forme d'une fraction
irréductible deπ
( noté pi ) pour un traitement correct.
L'objectif est de comprendre la définition du radian.
Dans cette question rayon R = 1
donc le rapport précédent coïncide directement avec
la longueur de l'arc
( voir question précédente ).
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Définition : le rapport L/R
où L est la longueur de l'arc
et R est le rayon du cercle est appelé mesure en radian de l'arc
. Si le rayon du
cercle est 1, la mesure en radian de l'arc
est tout simplement égale à la longueur de l'arc .
Sur la figure ci-dessous on a trois arc de même mesure en radian
:
Remarque importante :
Propriété : si sur un cercle de rayon R,
est la mesure en radian d'un arc
alors la longueur de cet arc est L = R.
Arc orienté : Soit A et B deux points d'un cercle , à
l'arc géométrique
correspond deux arc orientés distincts
et comme le montre
la figure ci-dessous.
Mesures d'un arc orienté
Considérons un cercle trigonométrique
pour que la mesure en radian d'un arc
puisse coïncider avec sa longueur et A et B deux points de ce cercle,
contrairement à l' arc géométrique ,
on définit pour l' arc orienté
une infinité de mesures en radian, voila comment on peut définir
une mesure quelconque de l'arc orienté
:
fixons l'extrémité d'un fil au point A, enroulons ce fil
autour du cercle en faisant un nombre de tours quelconque pour arrivé
à B, on peut alors appeler mesure de l'arc
la longueur comptée positivement si le sens de l'enroulement
est direct et comptée négativement si le sens est indirect
( sens des aiguilles d'une montre ) .
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