Rotation vectorielle plane

Définition
Une rotation vectorielle du plan est une isométrie vectorielle positive c'est à dire une isométrie vectorielle dont le déterminant de la matrice associée est égal à 1 .
La matrice R d'une rotation vectorielle dans toute base orthonormée (;) est de la forme :

Ensemble des vecteurs invariants par une rotation vectorielle plane :
Dans le plan muni du repère orthonormé (O ; ;) soit un vecteur du plan de coordonnées (x ; y ) on a :
est invariant par la rotation vectorielle dont R est la matrice associée si et seulement si il est sa propre image :

le déterminant de ce système est :
(1 - a)² + b² = 1 - 2a + a² + b² = 1 - 2a + 1 = 2 - 2a
- ce déterminant est nul si a = 1, dans ce cas b = 0 et tout vecteur du plan est invariant, cette rotation vectorielle est appelée l'identité vectorielle sa matrice est la matrice unité :

- ce déterminant est non nul si a ≠ 1 , dans ce cas le système admet une solution unique qui est le vecteur de coordonnée ( 0 ; 0) c'est le vecteur nul :