Bien que son terme général tend vers 0 en + ,
cette série est divergente
en effet :
soit n un entier naturel non nul, soit p la partie
entière du nombre ln n/ln 2 , on a : n
2p et :
quand n tend vers +
p tend également vers +
d'ou la série
est une série divergente.
Série de Riemann : c'est
la série de la forme :
où
est un réel fixé, ( on peut remplacer n 1
par n n0
ou n0 est entier naturel non nul) .
Cette série est convergente si et seulement si
> 1 Preuve :
on sait déja que la série est divergente pour
= 1,
et pour tout entier n
n0 on a si
< 1 :
en utilisant le théorème de comparaison des séries
on en déduit que la série de Riemann est divergente
( vers + )
pour <
1 et donc pour
1.
Supposons donc que
> 1 et considérons la fonction f définie sur
[1 ; + [ par
:
la fonction f est strictement décroissante, continue, et
positive sur [1 ; + [,
on a de plus
avec :