séries à termes positifs

Définition : une série à termes positifs ou à termes dans + est une série dont le terme général est positif.

Remarque importante :
Soit la série de termes général un,
La suite des sommes partielles Sn définie par :

est une suite croissante donc on peut utiliser les théorèmes relatifs aux suites croissantes et majorées.
Propriété :
Une série à termes dans + soit convergente si et seulement si il existe un réel M positif tel que :

Remarques :
si à termes dans + est convergente alors :

si à termes dans + est divergente alors :

Théorème de comparaison de séries :

Soit (un) et (vn) deux suites à termes positifs.
Si il existe un réel > 0 tel que, à partir d'un certain rang n0,
on ait : 0 un vn alors :

Remarque : si un ~ vn ou si un est négligeable devant vn , les hypothèses de ce théorème sont vérifiées.

Théorème de comparaison série - intégrale
Soit f une fonction de variable numérique x définie , décroissante et continue et positive sur un intervalle I = [n0 ; + [ , ou n0 est un entier naturel .
Alors la série converge si et seulement si la primitive F de f qui s'annule en n0 admet une limite finie quand x tend vers +

et


Règle de D'Alembert
Soit une série à termes positifs , alors

Règle du " "
Soit une série à termes positifs , alors
si il existe un réel > 1 tel que

alors la série est convergente.
( ce résultat provient de la comparaison avec la série de Riemann )