suite arithmétique

Une suite arithmétique est une suite numérique dont chaque terme s'obtient en ajoutant au précédent un nombre réel constant r ( c'est une définition par récurrence)
Pour tout entier naturel n : u_n+1 = u_n+ r
Remarque : pour démontrer qu'une suite est arithmétique il faut prouver pour tout entier naturel n l'égalité :
u_n+1 - u_n = constante .

Cette définition n'est pas pratique pour calculer par exemple le 30 ^ème terme, si on connaît le troisième terme u₂ de la suite, en effet il faut calculer u₃ , puis u_4, ....... et de proche en proche "arriver " jusqu'à u₂₈ (29 ^ème terme)

Expression de u_n en fonction de u₀ et de n

On peut d'après la définition écrire les n égalités, en additionnant membre à membre ces n égalités, on obtient après simplification la relation :

Cette dernière expression peut être généralisée en remplaçant u₀ par n'importe quel terme u_p de la suite.

On peut comprendre aussi cette formule de cette façon :

u_n = u_p + (n - p)r
Remarques :

en fait toute suite explicitement définie par u_n = an + b ( ou a et b sont deux réels fixés ) est une suite arithmétique de premier terme u₀ = b et de raison a. On peut voir aussi la suite arithmétique comme la restriction à de la fonction affine f définie par f(x) = ax + b

Variation et convergence

• Si r = 0, la suite est constante ( stationnaire à partir de n = 0)
• Si r > 0 , la suite est strictement croissante puisque pour tout n entier naturel on a u_n+1 - u_n = r > 0 et :

• Si r < 0, la suite est strictement décroissante puisque pour tout n entier naturel on a u_n+1 - u_n = r < 0 et on a :

Somme de termes consécutifs d'une suite arithmétique