Définition
Une symétrie vectorielle du plan est une isométrie
vectorielle négative c'est à dire une isométrie
vectorielle dont le déterminant de la matrice associée est
égal à -1 .
La matrice S d'une symétrie
vectorielle dans toute base orthonormée (;)
est de la forme :
Ensemble des vecteurs invariants par isométrie vectorielle négative
:
Dans le plan muni du repère orthonormé (O ; ;)
soit un vecteur du plan
de coordonnées
(x ; y ) on a :
est invariant par une
isométrie vectorielle négative dont S est la matrice
associée si et seulement si il est sa propre image :
le déterminant de ce système est :
(1 - a)(1+ a) - b² = 1 - a² - b² = 1 - (a² + b²
) = 0
ce déterminant est nul : le système admet comme solution
tout couple de réels (x ; y) vérifiant l'une des deux
équations ( puisque les coefficients de la première équation
sont proportionnels aux coefficients de la seconde équation ). En
fait tout vecteur colinéaire au vecteur de coordonnées
(b ; 1 - a ) est un vecteur invariant de l'isométrie vectorielle
dont la matrice est S.