symétrie vectorielle du plan

Symétrie vectorielle plane ou isométrie vectorielle plane négative

Définition
Une symétrie vectorielle du plan est une isométrie vectorielle négative c'est à dire une isométrie vectorielle dont le déterminant de la matrice associée est égal à -1 .
La matrice S d'une symétrie vectorielle dans toute base orthonormée (;) est de la forme :

Ensemble des vecteurs invariants par isométrie vectorielle négative :
Dans le plan muni du repère orthonormé (O ; ;) soit un vecteur du plan de coordonnées (x ; y ) on a :
est invariant par une isométrie vectorielle négative dont S est la matrice associée si et seulement si il est sa propre image :

le déterminant de ce système est :
(1 - a)(1+ a) - b² = 1 - a² - b² = 1 - (a² + b² ) = 0
ce déterminant est nul : le système admet comme solution tout couple de réels (x ; y) vérifiant l'une des deux équations ( puisque les coefficients de la première équation sont proportionnels aux coefficients de la seconde équation ). En fait tout vecteur colinéaire au vecteur de coordonnées
(b ; 1 - a ) est un vecteur invariant de l'isométrie vectorielle dont la matrice est S.