Systèmes de numération

Définition

Soit a un entier naturel non nul quelconque et b un entier naturel strictement supérieur à 1.
On admet que l'on peut décomposer le nombre a de façon unique :

où les nombres a0, a1, ....ap sont strictement inférieurs à b et le nombre ap non nul.
Cette décomposition est appelé décomposition du nombre a dans la base b.
La représentation symbolique du nombre a dans la base b nécessite b symboles, appelés chiffres. Les premiers symboles utilisés sont 0,1,2,..,9 puis les 26 lettres de l'alphabet : A,B, ...,Z . Le nombre a est alors écrit sous la forme a = ap ....a3a2a1a0 ou les ai sont les chiffres.

Quelques cas :
- le système binaire de base 2 utilisant 0 et 1 comme chiffre.
- le système octal de base 8 utilisant les chiffres de 0 à 7.
- le système décimal de base 10 utilisant les chiffresde 0 à 9
- le système duodécimal de base 12 utilisant les chiffres de 0 à 9 et les lettres A et B.
- le système hexadécimal de base 16 utilisant les
chiffres de 0 à 9 et les lettres de A à F.
- le système heure - minute - seconde


Sur cet exemple il est possible d'utiliser une base entre 2 et 36.
base 10 base

Algorithme d'Horner pour passer de l'écriture dans une base donnée à l'écriture décimale.