Théorème Chinois
Enoncé :
Si m et n deux entiers naturels non
nuls premiers entre eux alors
les ensembles (
/m)
x (/n)
et (/mn)
sont isomorphes.
Démonstration :
Considérons l'application
f qui à tout entier relatif x
associe le couple ( [x]m
, [x]n
) où [x]m
et [x]n
sont respectivement les classes
modulo m et n de x.
f est donc définie par f(x)
= ( [x]m
, [x]n
)
Cette application est un morphisme
d' anneaux de l'anneau
(, +, .
) sur l'anneau (/m,
+ , . ) x (/n,
+ ,.) en effet :
pour tout couple ( x
; y
) d'entiers relatifs on a :
f( x
+ y
) =( [x+ y]m
, [x + y ]n
) =
( [x]m
+ [y]m
, [x]n
+ [y]n
) =
( [x]m
, [x]n
) + ( [y]m
, [y]n
) =
f(x)
+ f(y)
f( x
y )
=( [x
y]m , [x
y ]n ) =
( [x]m
[y]m
, [x]n[y]n
) =
( [x]m,
[x]n
) ( [y]m
, [y]n
) =
f(x)f(y)
Déterminons le noyau de f , c'est à dire l'ensemble des
entiers relatifs x
dont l'image est le couple ( [0]m
, [0]n
)
Ker(f) = { x 
; f( x)
= ( [0]m
, [0]n
) }
= { x
; ( [x]m
, [x]n
) = ( [0]m
, [0]n
) }
= { x
; [x]m
= [0]m
et [x]n
= [0]n
}
= { x
; x
m
et x
n}
( c'est donc l'ensemble des nombres relatifs x
qui sont à la fois multiples
de m et de n )
ker(f) = m 
n
notons p le plus petit multiple commun de m et n , (ppcm)
on sait que m
n = p
donc Ker(f) = p
≠ {0} il en résulte
que f n'est pas un morphisme
injectif.
Cherchons un morphisme g qui lui sera injectif et aura même image
de f :
soit x
; y
deux entiers relatifs tels que f(x)
= f(y)
on a alors f(x
- y)
= ( [0]m
, [0]n
)
d'ou x
- y
est un multiple de p = ppcm (m,n)
par conséquent [x]p
= [y]p
l'application
g : (/p)
(/m)
x (/n)
définie par :
g ([x]p)
= ( [x]m
, [x]n
) = f(x)
L'application g est un morphisme d'anneaux en effet :
Pour tout couple ( [x]p
, [y]p
) de (/p)²
,
g( [x]p
+ [y]p
) =
g( [x+ y]p)
= f(x+ y)
= f(x)
+ f(y)
= g ([x]p)
+ g ([y]p)
g( [x]p
[y]p
) =
g( [xy]p)
= f(xy)
= f(x)
f(y)
= g ([x]p)g
([y]p)
L'application g est injective :
Ker(g) = { [x]p
/p
; g ([x]p)
= ( [0]m
, [0]n
) }
= { [x]p
/p
; f(x)
= ( [0]m
, [0]n
) }
= { [x]p
/p
; x
Ker(f) }
= { [x]p
/p
; x
p
}
= { [0]p}
On a donc trouvé un morphisme injectif entre :
/p
et (/m)
x (/n)
, si de plus m et n sont premiers entre eux, alors on sait que le plus
petit commun multiple de m et n est mn donc p = mn .
card(/p)
= p = mn
card( (/m)
x (/n)
) = mn
donc card(/p)
= card( (/m)
x (/n)
), le morphisme g qu'on a définit est donc aussi bijectif.
Conclusion (/m)
x (/n)
et (/mn)
sont isomorphes.
(/m)
x (/n)
(/mn)