sens de variation d'une fonction (exemple)

exemple :

On veut déterminer le sens de variation sur]-∞; 3] de la fonction

Première méthode :
on met f(x) sous une forme permettant d'utiliser les théorèmes de rangement .
On montre que f(x) peut se mettre sous la forme f(x) = 4 - (x - 3)².

donc f(x) = 4 - (x - 3)²
En suite on utilise les théorèmes de rangement :

Pour tous réels x1 et x2 tel que x1 < x2 < 3 on a f(x1) < f(x2) donc f est strictement croissante sur l'intervalle ]-∞; 3].

Deuxième méthode

On peut déterminer le signe de f(x2)- f(x1) en supposant que x1< x2< 3. ( il faut factoriser )


Pour tous réels x1 et x2 tel que x1 < x2 < 3 on a f(x2) - f(x1) > 0
( c'est à dire f(x2) > f(x1) ou encore f(x1) < f(x2) ),
donc f est strictement croissante sur l'intervalle ]-∞; 3].

Troisième méthode : ( niveau première )

Le calcul de la dérivée :
la fonction f est dérivable sur et
f '(x) ≥ 0 si -2x + 6 ≥ 0 c'est à dire si x < 3
f '(x) ≥ 0 sur ]-∞;3] donc f est croissante sur ]-∞; 3].