vecteurs propres et valeurs propres

  • ε est un espace vectoriel sur de dimension n =
  • u est un endomorphismede ε
  • est un réel
  • x est un vecteur non nul de ε,
  • est la matrice associée à l'endomorphisme u.

on dit que x est un vecteur propre associé à la valeur propre si u(x) = x .

Recherche des valeurs propres :
Les valeurs propres de l'endomorphisme u sont solutions de l'équation caractéristique : det( M - I ) = 0 où I est la matrice unité.
Le polynôme : P() = det (M -I ) est appelé polynôme caractéristique de l'endomorphisme u et de la matrice M.
Une valeur propre de la matrice M est encore une racine du polynôme P() donc il vaut mieux s'arranger pour que P() soit sous la forme d'un produit de facteurs.
Pour simplifier le de M vous pouvez effectuer des opérations sur les lignes ou les colonnes afin d'annuler le plus d'éléments possibles sous la diagonale.

k = , m = , a =

Une fois que l'on a déterminé les valeurs propres d'une matrice, il faut déterminer les vecteurs propres associés à chaque valeurs propres.

Recherche des vecteurs propres :
L'ensemble des vecteurs propres associés à une valeur propre est appelé un sous espace propre, c'est un sous espace vectoriel de ε .
avant de poursuivre que = est bien une valeur propre de la matrice M, que vous avez saisie plus haut. Si c'est le cas, il ne vous reste plus qu'à déterminer pour chaque valeur propre , les vecteurs x tels que
u(x) = x . Leurs composantes sont solutions du système sous forme matricielle (M - I) x = 0