application affine
E désigne l'espace
affine (ou bien le plan affine) et ε
son espace vectoriel associé.
Définition : une application f de
E dans E est dite affine si il existe une application linéaire Φ de ε dans ε (endomorphisme de ε) telle
que quels que soient les points A et B de E d'images respectives A'
et B' l'image par Φ du vecteur
est le vecteur 
Point invariant par une application
affine
Un point O de E est invariant par une application affine f de
E lorsqu'il coïncide avec son image par f ; soit f(O) = O
Image d'une droite par une application
affine
- Soit D une droite passant par un point A et de vecteur directeur
non nul 
.
- Soit f une application affine et Φ son endomorphisme associé.
L'image de la droite D par f est la droite passant par A' = f(A)
et de direction Φ(
) si Φ(
)
sinon c'est le point A'.
Image d'un plan par une application
affine
- Soit 
un plan passant par un point A et de système de vecteurs linéairement
indépendant
et 
.
- Soit f une application affine et Φ son endomorphisme associé.
L'image du plan
par f peut être :
- le plan passant par A' = f(A) et de système de vecteurs
linéairement indépendants Φ(
)
et
f()
si Φ(
)
et Φ(
)
sont linéairement indépendants (non colinéaires ). - la droite passant par A' = f(A) et de vecteur directeur
Φ(
)
si Φ(
)
et Φ(
)
sont linéairement dépendants ou liés ( colinéaires ) et non tous
deux nuls.
- le point A' = f (A) si Φ(
) = Φ(
)= 0.
Image d'un barycentre par une application affine.
Par toute application affine d'un espace affine, l'image du barycentre d' un système de points pondérés est le barycentre du système constitué par les images de ces points, affectées respectivement des mêmes barycentres.
La conservation de la propriété du barycentre, pour tout système de points caractérisent les applications affines.
Exemple d'applications affines :
- la translation ponctuelle de l'espace affine E appelée plus couramment translation dont l'application linéaire associée est l'application identique de ε
- l'homothétie ponctuelle de l'espace affine E appelée plus couramment homothétie dont l'application linéaire associée est l'homothétie vectorielle de ε
- la projection sur une droite ( ou un plan ) parallèlement à une direction ( droite ou plan ) donnée dont l'application linéaire associée est la projection vectorielle.
- l'affinité du plan ou de l'espace