Affinité du plan et de l' espace

Affinité du plan
L'affinité d'axe D , direction D' et de rapport k est l'application du plan dans lui mêmequi à tout point M du plan associe le point M' tel que :
( m étant le projeté du point M sur la droite D selon la direction D' )
Image d'un point M

Image d'un segment[AB]
Image d'un segment par une affinité
Traduction analytique
Considérons un repère (O; ;) du plan tel que et sont des vecteurs directeurs respectifs de D et D' et O soit le point d'intersection de D et D' .
Soient M(x ; y ) et M'(x' ; y') son image par l'affinité de rapport k et de direction D' alors :

ce qui s'écrit sous forme matricielle :
Remarque : l'image d'un cercle par une affinité orthogonale dont l'axe passe par le centre de ce cercle est une ellipse
Affinité de l'espace
L'affinité du plan , de direction D et de rapport k est l'application de l'espace dans lui mêmequi à tout point M de l'espace plan associe le point M' tel que :
( m étant le projeté du point M sur le plan selon la direction D )

Traduction analytique
 On peut de la même façon traduire analytiquement cette affinité en choisissant un repère de l'espace (O; ;; ) tel que (O ; ;) définisse le plan et(O ; ) la droite D ,
M(x ; y ; z) a pour image M'(x'; y' ;z') se traduit analytiquement par :

et sous forme matricielle :
les affinités sont des applications affines, dans le cas particulier k = -1, on les appelle aussi symétrie oblique par rapport à une droite ou un plan .