mesure d'un arc en radian

Arc géométrique :
Le périmètre d'un cercle de rayon R est 2R :

Pour un cercle de rayon 1 on a donc un périmètre de 2 ( 1 cm, 1 mètre ou un unité quelconque fixée )

un arc est un partie du cercle délimités par deux points de ce cercle, il est mesurable comme le périmètre du cercle.


Pour les questions suivantes mettre tout les résultats demandés en fonction de ( noté pi ),
les résultats doivent être mis sous la forme d'une fraction irréductible de ( noté pi ) pour un traitement correct.
L'objectif est de comprendre la définition du radian.




Dans cette question rayon R = 1 donc le rapport précédent coïncide directement avec la longueur de l'arc
( voir question précédente ).

Définition : le rapport L/R où L est la longueur de l'arc et R est le rayon du cercle est appelé mesure en radian de l'arc . Si le rayon du cercle est 1, la mesure en radian de l'arc est tout simplement égale à la longueur de l'arc .
Sur la figure ci-dessous on a trois arc de même mesure en radian :



Remarque importante :


Propriété : si sur un cercle de rayon R, est la mesure en radian d'un arc alors la longueur de cet arc est L = R.

Arc orienté : Soit A et B deux points d'un cercle , à l'arc géométrique correspond deux arc orientés distincts et comme le montre la figure ci-dessous.

Mesures d'un arc orienté
Considérons un cercle trigonométrique pour que la mesure en radian d'un arc puisse coïncider avec sa longueur et A et B deux points de ce cercle, contrairement à l' arc géométrique , on définit pour l' arc orienté une infinité de mesures en radian, voila comment on peut définir une mesure quelconque de l'arc orienté :
fixons l'extrémité d'un fil au point A, enroulons ce fil autour du cercle en faisant un nombre de tours quelconque pour arrivé à B, on peut alors appeler mesure de l'arc la longueur comptée positivement si le sens de l'enroulement est direct et comptée négativement si le sens est indirect ( sens des aiguilles d'une montre ) .

Sens positif ou direct Sens négatif ou indirect
La longueur de valeur absolue la plus petite est appelée mesure principale de l'arc orienté .
Si vous connaissez la mesure principale d'un arc orienté , toutes les autres mesures de l'arc orienté sont les réels + k 2 ou k décrit l'ensemble des entiers relatifs .

Comment déterminer la mesure principale à partir de n'importe quelle autre mesure ?
Cela revient à déterminer k tel que :

le nombre k étant un entier relatif, on en déduit une solution et la mesure principale est = + k2.
( Format possible exemple : 31pi/4 , -45pi/6, 457.7 , -56)
= .