anneau

Définition : un ensemble A non vide, muni de deux lois de composition interne notées respectivement + et × est appelé un anneau si :

• L'ensemble A muni de la première loi + est un groupe commutatif.
• La seconde loi × , est associative et distributive par rapport à la première loi.

Notation (A , + , ×) .

• si de plus la seconde loi × est commutative alors le anneau est dit commutatif.
• si l'anneau admet pour la seconde loi , un élément neutre, l'anneau est dit unitaire.
• soit 0 l'élément neutre pour la première loi + , si pour tout élément a et b de A tels que a ≠ 0 et b≠ 0 on a : a × b ≠ 0 alors l'anneau est dit anneau d'intégrité .
• Les éléments d'un anneau unitaire (A , + , ×) qui admettent des symétriques pour la seconde loi ×, sont appellés éléments inversibles de l'anneau A,

Propriété : l'ensemble des éléments inversibles muni de la loi × d'un anneau (A , + , ×) est un groupe appelé groupe des inversibles de A.


Liens :

• Morphisme d'anneaux