dénombrement d'un ensemble avec un arbre

Pour comprendre on va prendre un énoncé type :
Enoncé :
Une urne contient 7 boules numérotées de 1 à 7

  • on tire au hasard et successivement 3 boules de cette urne
    le tirage est avec remise, c'est à dire qu'on remet la boule une fois tirée. (voir exemple de tirage ci-dessous )


    Quel est alors le nombre de tirages possibles ?

    il y a 7 choix possibles pour la première boule de même pour la seconde une fois la première boule sortie et de même pour la troisième boule.
    il y a dans ce cas 7 x 7 x 7 tirages possibles soit 343 tirages
    (le nombre de ramification à chaque branche est le même , il s'agit en fait du nombre de 3-listes dans un ensemble à 7 éléments -> bac++)
  • on tire au hasard et successivement 3 boules de cette urne
    le tirage est sans remise, c'est à dire qu'on ne remet pas la boule une fois tirée. (exemple de tirage ci-dessous)

    Quel est alors le nombre de tirages possibles ?

    Il y a 7 sorties possibles pour la première boule, mais la seconde boule sera quant à elle tirée parmi les 6 restantes et la troisième parmi les 5 restantes.
    Le nombre de tirages est donc 7 x 6 x 5 = 210.
    ( le nombre de ramifications diminue d'une branche à chaque étape , il s'agit en fait du nombre d'arrangements de 3 éléments pris parmi un ensemble de 7 élément bac ++)
  • on tire au hasard et simultanément 3 boules de cette urne
    (voir exemple de tirage ci-dessous ) il n'y a plus d'ordre d'arrivée des boules

    vous pouvez construire un arbre comme précédemment et supprimer les ramifications équivalente puisque par exemple : ( , , ) = ( , , ) = .....=....

    ou bien calculer le nombre de permutations possibles de trois boules distinctes quelconques en vous aidant d'un arbre vous devez en trouver 6 .
    il y a donc 210/6 = 35 tirages possibles. ( il s'agit en fait du nombre de combinaison de 3 éléments pris dans un ensemble à 7 éléments -> bac++)
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