BAC S session 2006 Polynésie

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EXERCICE 3 (4 points)

On a posé à 1000 personnes la question suivante : « Combien de fois êtes-vous arrivé en retard au travail au cours des deux derniers mois ? ».
Les réponses ont été regroupées dans le tableau suivant.
.On choisit au hasard un individu de cette population.
a) Déterminer la probabilité que l'individu ait eu au moins un retard le premier mois.
b) Déterminer la probabilité que l'individu ait eu au moins un retard le deuxième mois sachant qu'il n'en a pas eu le premier mois.
2. On souhaite faire une étude de l'évolution du nombre de retards sur un grand nombre n de mois (n entier naturel non nul).
On fait les hypothèses suivantes :
- si l'individu n'a pas eu de retard le mois n, la probabilité de ne pas en avoir le mois n + 1 est 0,46.
- si l'individu a eu exactement un retard le mois n, la probabilité de ne pas en avoir le mois n + 1 est 0,66.
- si l'individu a eu deux retards ou plus le mois , la probabilité de ne pas en avoir le mois n + 1 est encore 0,66.
On note An l'événement « l'individu n'a eu aucun retard le mois n »,
Bn l'événement « l'individu a eu exactement un retard le mois n », Cn l'événement « l'individu a eu deux retards ou plus le mois n ».
Les probabilités des événements An, Bn, Cn sont notées respectivement pn, qn, rn. a)
a) Pour le premier mois ( n = 1), les probabilités p1, q1et r1 sont obtenues à l'aide
du tableau précédent. Déterminer les probabilités p1, q1et r1
b) Exprimer pn+1 en fonction de pn, qn et rn .On pourra s'aider d'un arbre.
c) Montrer que, pour tout entier naturel n non nul, pn+1 = - 0,2 pn + 0,66.
d) Soit la suite (un) définie pour tout entier naturel n non nul par un = pn - 0,55.
Démontrer que (un) est une suite géométrique dont on donnera la raison.
e) Déterminer lim un. En déduire lim pn