Baccalauréat ES Polynésie Session 2005
EXERCICE 4 (5 points)
Commun à tous les candidats
Soit
f une fonction définie et dérivable sur
[-2 ; 10].
La courbe C
f ci-dessous est la représentation
graphique de la fonction
f dans un repère orthonormal.
On précise que le point dabscisse 4,83 de C
f
a pour ordonnée 1,86 et que cette
valeur est le maximum de a fonction
f .
On note C
F la courbe représentative de la
primitive F de
f qui sannule en 1. On
précise que le point A (5 ; 5,43 ) appartient à CF .
On note C
f ' la courbe représentative de
la fonction dérivée
f ' de f .
Toutes les estimations graphiques seront données à 0,25
près. Les résultats des calculs numériques seront
arrondis à 10
-2.
1. a. Déterminer graphiquement sur quel(s) intervalle(s)
C
f ' est située en dessous
de laxe des abscisses.
b. Déterminer, en justifiant, léquation
réduite de la tangente à C
F en A.
c. Préciser, en justifiant, le sens de variation de
F sur lintervalle [-2 ; 10].
2. a. Déterminer
b. Rappeler la formule de la valeur moyenne dune fonction
sur un intervalle
[a ;b] et donner une interprétation de cette notion dans le
cas où
f
est positive.
c. Donner la valeur moyenne de
f sur lintervalle
[1 ; 5].
Correction :
1.a. Le(s) intervalle(s) où C
f ' est
située en dessous de laxe des abscisses sont le(s) intervalle(s)
où
f ' est négative c'est à dire les intervalles
ou la fonction d est décroissante.
l'intervalle correspondant est donc [-2 ; - 0,75]
1.b. Coefficient directeur de la tangente au point A d'abscisse
5 de C
F :
F'(5) =
f(5) = 1,8
Ordonnée du point A :
F(5) = 5,43
Equation de la tangente au point A d'abscisse 5 :
y = F'(5)(
x - 5) + F(5)
y = 1,8(
x - 5) + 5,43
y = 1,8
x - 9 + 5,43
y = 1,8
x - 3,57
1.c.
C
f en dessus de l'axe des abscisses sur [-2 ; -1,8] ∪
[0,8 ; 10]
f est la dérivée de la fonction F sur [-2 ; 10]
donc
F croissante sur [-2 ; -1,8] et sur [0,8 ; 10] et
F est décroissante [-1,8 ; 0,8]
2.a.
2.b.
la valeur moyenne d'une fonction sur un intervalle [
a ;
b]
est le nombre réel
m défini par
dans le cas où la fonction
f est positive elle correspond
à la hauteur d'un rectangle délimité par les
droites d'équation
x = a et
x = b qui aurait
la même aire que le domaine délimité la courbe
représentative de
f , les droites d'équation
x = a et
x = b et l'axe des abscisses. (
voir
propriété de l'intégrale )
2.c.