Baccalaurat ES Amérique du Nord session 2005

EXERCICE 2 (5 points)
Pour les candidats ayant suivi la spécialité mathématique

Les courbes H₁ et H₂ représentées dans le repère orthonormal ci-dessus ont respectivement pour équation

.
On note D₂ le domaine délimité par les courbes H₁ et H₂ et les droites d’équation
x = 2 et x = 3.
On note D' ₂ le domaine délimité par l’axe des abscisses, la courbe H₁ et les
droites d’équation x = 2 et x = 3.
1. Colorier les domaines D₂ et D' ₂ d’une couleur différente et montrer qu’ils ont
la même aire.
Soit n un entier naturel strictement positif. On note u_n l’aire du domaine D_n
délimité par les courbes H₁ et H₂ et les droites d’équation x = n et x = n +1.
2. Exprimer un en fonction de n.
3. Montrer que la suite (u_n) est décroissante.
On pourra comparer les nombres n(n +2) et (n +1)².
4. Étudier la convergence de la suite (u_n).
5. Déterminer la plus grande valeur de n telle que l’aire du domaine D_n reste
supérieure à 1/10 d’unité d’aire. Soit N cette valeur.
6. Calculer l’aire du domaine délimité par les courbes H₁ et H₂ et les droites
d’équation x =1 et x = N.
Correction :
1.


donc les aires des deux domaines sont égales.
2.

3. Pour tout entier naturel n non nul on a :

donc la suite (u_n) est décroissante.
4. Pour tout entier naturel strictement positif on a :

donc la suite (u_n) est minorée par 0, comme on a démontré qu'elle était décroissante on en déduit qu'elle est convergente.

5.

La plus grande valeur de n permettant que l’aire du domaine D_n reste
supérieure à 1/10 d’unité d’aire est donc N = 9.
6.