Exercice 4 : (7 points )
Partie 1
Soient les fonctions f et g définies sur [0 ; 9]
par
1. Résoudre algébriquement l'équation f(x)
= g(x)
2. Calculer l'intégrale I :
On donnera la valeur exacte de I.
Partie 2
Un produit conditionné en boîte est mis sur le marché.
On désigne par x le prix d'une boîte de ce produit
en dizaine d'euros.
On admet que la quantité acheté par les consommateurs,
en fonction du prix x appliqué sur le marché,
est donné par f(x) en centaines de boîtes.
On admet que la quantité proposée sur le marché
par les producteurs, en fonction du prix de vente x auquel
les producteurs sont disposés à vendre est donné
par g(x) en centaines de boîtes.
Sur le graphique ci-contre sont tracées dans un repère
orthonormal les courbes représentatives des fonctions f
et g.
1. On pourra utiliser le graphique
pour conjecturer les réponses aux questions suivantes, puis
on les justifiera algébriquement.
a. Combien de boîtes seront achetées par les consommateurs
si le prix de vente est de 40 euros la boîte ?
b. Lorsque l'offre est égale à la demande, le
marché atteint son équilibre. Donner le prix d'équilibre
en euros et le nombre de boîtes correspondant.
2.
a.D'après le graphique , les producteurs étaient
disposés à vendre des boîtes à un prix
inférieur au prix d'équilibre.
On appelle surplus des producteurs , le gain réalisé
en vendant des boîtes au prix d'équilibre. Ce gain est
donné en milliers d'euros par l'aire du triangle OAE ( 1 unité
d'aire = 1 millier d'euros ) .
Calculer ce surplus en euros
b. Le surplus des consommateurs est l'économie réalisée
par les consommateurs qui étaient prêts à payer
plus cher que le prix d'équilibre. Ce surplus est donné
en milliers d'euros par l'aire de la partie grisée du plan
sur le graphique ( 3
x 9 )
Préciser quelle intégrale permet de calculer ce surplus
et en donner l'arrondi à l'euro.