bac es,session 2007,Rochambeau,Amérique du Nord

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Exercice 4 : Commun à tous les candidats (6 points)
Les deux parties peuvent être traitées indépendamment l'une de l'autre.
PREMIèRE PARTIE

On considère une fonction g définie sur l'intervalle ]-1/2 ; + [ par :
g(x) = - x² + a x - ln(2 x + b), où a et b sont deux réels.
Calculer a et b pour que la courbe représentative de g dans un plan muni d'un repère passe par l'origine du repère et admette une tangente parallèle à l'axe des abscisses au point d'abscisse 1/2.

DEUXIèME PARTIE
Soit f la fonction définie sur l'intervalle ]-1/2 ; + [ par :
f (x) = - x² + 2 x - ln(2 x + 1).
On admet que f est dérivable et on note f ' sa dérivée.
Le tableau de variation de la fonction f est le suivant :



1) Justifier tous les éléments contenus dans ce tableau.
2) a) Montrer que l'équation f(x) = 0 admet une unique solution dans l'intervalle [1/2 ; 1].
b) Donner un encadrement de d'amplitude 10-2.
3) Déterminer le signe de f(x) sur l'intervalle ]-1/2 ; + [