Correction exercice 4 (6 points) Comniun à tous les candidats
1. a)
Interprétation graphique : la droite d'équation x
= 0 est asymptote ( verticale ) à la courbe Cf
b)
Interprétation graphique : la droite d'équation y
= 3 est asymptote ( horizontale ) à la courbe Cf
en + ∞
2. a)
f '(x) est du signe de 1 - ln x car x²
> 0 sur ]0 ; + ∞[
étudions le signe de 1 - ln x
1 - ln x > 0 équivaut à - ln x > -
1 soit ln x < 1 d'où x < e
sur ]0 ; e] , f '(x)
0 et sur [e ; + ∞
[ , f '(x)
0
b) f (e) = 5(1/e) + 3 = 5/e + 3.
3. a) f ( x) = 5 u'(x) ×
u(x) + 3 avec u(x) = ln x et donc u'(x)
= 1/x
F définie sur ]0 ; + ∞[
par
est une primitive de la fonction f sur ]0 ; + ∞[
b)
4. a) f(2) = 5(ln2)/2 + 3 > 0 sur l'intervalle
[2 ; e] , f(x) > 0 ( voir tableau de variation
)
f(4) = 5(ln 4/4 + 3 > 0 sur l'intervalle [e ; 4] , f(x)
> 0 .
Conclusion f(x) > 0 pour tout réel x
de l'intervalle [2 ; 4]
b) L'intégrale I représente en unité
d'aire l'aire du domaine plan délimité par les droites
d'équation x = 2 et x = 4 d'un part , la courbe
Cf et l'axe des abscisses d'autre part.
5.
La valeur moyenne du bénéfice lorsque la production varie entre
2000 et 4000 pièces est de 4802 € ( à 100 € près
)