Bac ES session 2007

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Correction exercice 4 (6 points) Comniun à tous les candidats
1. a)

Interprétation graphique : la droite d'équation x = 0 est asymptote ( verticale ) à la courbe Cf
b)

Interprétation graphique : la droite d'équation y = 3 est asymptote ( horizontale ) à la courbe Cf
en + ∞
2. a)

f '(x) est du signe de 1 - ln x car x² > 0 sur ]0 ; + ∞[
étudions le signe de 1 - ln x
1 - ln x > 0 équivaut à - ln x > - 1 soit ln x < 1 d'où x < e
sur
]0 ; e] , f '(x) 0 et sur [e ; + ∞ [ , f '(x) 0

b) f (e) = 5(1/e) + 3 = 5/e + 3.

3. a)
f ( x) = 5 u'(x) × u(x) + 3 avec u(x) = ln x et donc u'(x) = 1/x
F définie sur ]0 ; + ∞[ par

est une primitive de la fonction f sur ]0 ; + ∞[
b)

4. a) f(2) = 5(ln2)/2 + 3 > 0 sur l'intervalle [2 ; e] , f(x) > 0 ( voir tableau de variation )
f(4) = 5(ln 4/4 + 3 > 0 sur l'intervalle [e ; 4] , f(x) > 0 .
Conclusion f(x) > 0 pour tout réel x de l'intervalle [2 ; 4]
b) L'intégrale I représente en unité d'aire l'aire du domaine plan délimité par les droites d'équation x = 2 et x = 4 d'un part , la courbe Cf et l'axe des abscisses d'autre part.
5.

La valeur moyenne du bénéfice lorsque la production varie entre 2000 et 4000 pièces est de 4802 € ( à 100 € près )