Bac STI Gel, Get, Go session 2006 Métropole

[Autres sujets][Retour à l'énoncé ][Cours relatif à l'exercice]

PROBLÈME (11 points)
Partie A : Résolution d'une équation différentielle
1. a) Les solutions de l'équation différentielle y' + y = 0 sont les fonctions y définie sur par y(x) = k e-x
k est une constante réelle quelconque.
b) h est une solution de l'équation y' + y = 0 donc h est de la forme : h(x) = k e-x
h(1) = 1/e d'où k e-1 = 1/e = e-1 par conséquent k = 1.
La fonction h est définie sur par : h(x) = e-x
2. u(x) = e-x + ax donc pour tout réel x on a : u ' (x) = - e-x + a
de u ' + u = -x - l on en déduit que pour tout réel x on a : - e-x + a + e-x + ax = - x - 1
soit encore : ax + a = - x - 1 par identification : a = - 1.
La fonction u définie sur par u(x) = e-x - x est solution de l'équation différentielle (E).
Partie B : Étude d'une fonction auxiliaire f
1.

2. Pour tout réel x on a : f ' (x) = - e-x - 1 < 0 comme somme de deux nombres strictement négatif sur
f est donc strictement décroissante sur :

3. a) f (0) = e0 - 0 = 1 > 0 et f (1) = e-1 - 1 = 1/e - 1 < 0 donc on a f(0) > 0 > f(1) de plus la fonction est dérivable et strictement décroissante sur l'intervalle [0 ; l] par conséquent : l'équation f(x) = 0 admet une solution unique sur [0 ; 1]
b) f(0,56) > 0 > f(0,57 ) donc 0,56 < < 0,57 est un encadrement de d'amplitude 0,01.
4. f est strictement décroissante sur [0 ; l] et f() = 0 par conséquent on en déduit le signe de f(x) sur l'intervalle [0 ; l] :
si x appartient à [0 ; [ alors f(x) > 0
si x appartient à ] ; 1] alors f(x) < 0

Partie C : Calcul de Faire d'une partie du plan
1. Voir figure :
2. L'aire D est délimité par les droites d'équation x = 0 ; x = , la courbe Cf et l'axe des abscisses.
Sur l'intervalle [0 ;] ; f (x) 0 donc l'aire de la partie D en unités d'aire est donnée par :


Partie D : Étude d'une fonction g et représentation graphique
1. a) Pour tout x ]- ; [ :

b)

donc la droite d'équation y = 0 est une asymptote horizonte à la courbe Cg en -.
2.

Interprétation graphique : la droite d'équation x = est asymptote à la courbe Cg
3. a) Pour tout x ]- ; [ :

b) g'(x) est du signe de 1 + x sur ]- ; [ car (e-x - x)² > 0 et e-x > 0 sur ]- ; [ :
1 + x > 0 si x > - 1.
On en déduit que sur ]- ; -1] , f '(x) 0 donc f décroissante .
et sur [-1 ; [ , f '(x) 0 donc f croissante .


4.