PROBLÈME (11 points)
Partie A : Résolution d'une équation différentielle
1. a) Les solutions de l'équation différentielle
y' + y = 0 sont les fonctions y définie
sur par y(x)
= k e-x
où k est une constante réelle quelconque.
b) h est une solution de l'équation y'
+ y = 0 donc h est de la forme : h(x)
= k e-x
h(1) = 1/e d'où k e-1
= 1/e = e-1 par conséquent
k = 1.
La fonction h est définie sur
par : h(x) = e-x
2. u(x) = e-x + ax
donc pour tout réel x on a : u ' (x)
= - e-x + a
de u ' + u = -x - l on en déduit
que pour tout réel x on a : - e-x
+ a + e-x + ax = - x - 1
soit encore : ax + a = - x - 1 par identification
: a = - 1.
La fonction u définie sur
par u(x) = e-x - x est solution
de l'équation différentielle (E).
Partie B : Étude d'une fonction auxiliaire f
1.
2. Pour tout réel x on a : f ' (x)
= - e-x - 1 < 0 comme somme de deux nombres
strictement négatif sur
f est donc strictement décroissante sur
:
3. a) f (0) = e0 - 0 = 1 > 0
et f (1) = e-1 - 1 = 1/e -
1 < 0 donc on a f(0) > 0 > f(1) de plus la
fonction est dérivable et strictement décroissante
sur l'intervalle [0 ; l] par conséquent : l'équation
f(x) = 0 admet une solution unique
sur [0 ; 1]
b) f(0,56) > 0 > f(0,57 ) donc 0,56 <
< 0,57 est
un encadrement de
d'amplitude 0,01.
4. f est strictement décroissante sur [0 ; l] et
f() =
0 par conséquent on en déduit le signe de f(x)
sur l'intervalle [0 ; l] :
si x appartient à [0 ;
[ alors f(x) > 0
si x appartient à ]
; 1] alors f(x) < 0
Partie C : Calcul de Faire d'une partie du plan
1. Voir figure :
2. L'aire D est délimité par les droites d'équation
x = 0 ; x =
, la courbe Cf et l'axe des abscisses.
Sur l'intervalle [0 ;]
; f (x)
0 donc l'aire de la partie D en unités d'aire est donnée
par :
Partie D : Étude d'une fonction g et représentation
graphique
1. a) Pour tout x
]- ; [
:
b)
donc la droite d'équation y = 0 est une asymptote
horizonte à la courbe Cg en -.
2.
Interprétation graphique : la droite d'équation x
= est asymptote
à la courbe Cg
3. a) Pour tout x
]- ; [
:
b) g'(x) est du signe de 1 + x sur ]-
; [ car (e-x
- x)² > 0 et e-x > 0 sur ]-
; [ :
1 + x > 0 si x > - 1.
On en déduit que sur ]-
; -1] , f '(x)
0 donc f décroissante .
et sur [-1 ; [
, f '(x)
0 donc f croissante .
4.