Exercice 1 : (correction )
1. Résoudre dans l'ensemble
des nombres complexes l'équation z2 + 4z
+ 16 = 0
2. Pour tout nombre complexe z, on pose P(z) = z3
- 64.
a. P(4) = 43 - 64 = 64 - 64 = 0 donc est une racine
de P(z) donc
b. P(z) peut s'écrire sous la forme P(z) =
(z - 4)( az2 + bz + c)
= az3 + bz2 + cz - 4az2
- 4bz - 4c = az3 + (b - 4a)z2
+ (c - 4b)z - 4c
Par identification on a :
P(z) = (z - 4)(z2 + 4z +
16)
c. P(z) = 0 équivaut à : (z - 4)(z2
+ 4z + 16) = 0 soit
z - 4= 0 ou z2 + 4z + 16 = 0 donc
z = 4 ou z = - 2 - 2iou
z = - 2 + 2i
donc S = { 4 ; - 2 - 2i
; - 2 + 2i
}
3. On considère les points A, B et C d'affixes respectives
:
zA = -2 + 2i
, , zC
= 4.
a.
b.
c.
conclusion : AB = BC = AC donc ABC est un triangle équilatéral.
4. a.
b.
c. voir 3.b.