bac sti gma, gmf, gen, gc,session 2007,Polynésie

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Exercice 1 (5 points)
1) Pour tout nombre complexe z, on pose :
P(z) = z³ + (2 - 4) z² + (8 - 8)z + 16
a)P(-2) = -16 + 8(2 - 4) + (8 - 8)( - 2) + 16
= -16 + 16 - 32 - 16 + 32 + 16 = 0 donc - 2 est une racine de P( z )
b)

P(z) = ( z + 2 )(z² - 4z + 8)
c)

2) On note A, B et C les points d'affixes respectives : a = 2 + 2 i , b = 2 - 2 i et c = -2
a)


OA = OB = OC donc A, B et C appartiennent au cercle de centre O et de rayon 2
b)

( ; ) = arg(a) - arg(b) [modulo 2] = /2 [modulo 2]
c) Les angles et interceptent le même arc .
L'angle est un angle inscrit et est un angle au centre donc :
= (1/2) = /4
( ; ) = /4 [modulo 2]
d) L'affixe de C est réel donc C appartient à l'axe des réels , il est son propre symétrique par rapport à l'axe des réels.
Les affixes de A et B sont conjugués donc A et B sont symétriques par rapport à l'axe des réels. Le triangle ABC est donc isocèle en C :
2 + =
2 = -/4 = 3/4 soit = 3/8
on a donc ( ; ) = 3/8
e)
Soit H le point d'affixe 2 ,
c'est à dire le projeté orthogonal des points A et B sur l'axe des réels ,on a :