Bac STI Génie des matériaux , génie mécanique ( volume et calcul intégral )

Le but de l'exercice est de calculer le volume d'une vase.

Le vase est le solide de révolution engendré par la rotation du domaine D colorié sur le graphique de votre sujet autour de l'axe des abscisses et vidé de son intérieur.

Le graphique a été réalisé dans un repère orthonormé d'unités 2 cm.



1. Soit f1 (x) la fonction définie sur l'intervalle [ 0 ;] par f 1 (x) = 2 - cos 2x.
1. a Calculer f ' 1 (x)
1. b. Reporter le tableau ci dessous sur votre copie et le compléter pour déterminer les variations de f1.

On admet que la courbe représentative de la fonction f1 est la courbe (C1) passant par les points A, B, C, D, E du graphique ci-dessus dans le repère

2. Soit f2 la fonction définie sur l'intervalle [ ;2] et dont la courbe représentative dans le repère est le segment de droite [EF] du graphique de votre sujet. Calculer f2 (x).

3. Le domaine D colorié sur le graphique est la réunion D1 et D2 où :

On rappelle que si h est une fonction dérivable et positive sur [a, b] et si E est le domaine limité par la courbe représentative de h, l'axe des abscisses et les droites d'équations x = a et x = b dans un repère orthonormé, alors le volume V du solide de révolution engendré par la rotation de E autour de l'axe des abscisses est, en unités de volume :

3.a. Linéariser (cos 2x)2. En déduire en cm3 la valeur exacte du volume V1 engendré par la rotation du domaine D1 autour de l'axe des abscisses.
3.b. Sachant que la droite (EF) a pour équation y = (1/)x , calculer en cm3 la valeur exacte du volume V2 engendré par la rotation du domaine D2 autour de l'axe des abscisses.
3.c. Calculer la valeur exacte du volume V du vase en cm3.

Correction :
1. a.

1. b.


f 1 (0) = 2 - cos 2x = 2 - cos0 = 2 - 1 = 1
f 1 (/2 ) = 2 - cos = 2 - (-1) = 3
f 1 ( ) = 2 - cos 2 = 2 - 1 = 1
2. f2 la fonction définie sur l'intervalle [ ;2] est une fonction affine puisque sa représentation est un segment donc
f2 ( x ) = ax + b où a et b sont deux réels à déterminer
les points E et F de coordonnées ( ;1 ) et ( 2 ; 2 ) appartiennent à cette droite donc :
f2 ( ) = a + b = 1
f2 ( ) = a2 + b = 2
les nombres réels a et b sont solutions du système :


3. a .

(on utilise les formules de trigonométrie )

3. b .

3.c.