EXERCICE 2 (8 points) Des
scientifiques veulent étudier l'évolution à long terme d'une population
de poissons d'une petite rivière. Pour cela ils disposent des résultats
de comptages effectués dans une portion de cette rivière entre 1990
et 1994. Le tableau et le graphique ci-après donnent les effectifs
trouvés par année de 1990 à 1994.
Nombre de poissons dans la portion de rivière étudiée
entre 1990 et 1994
1) Un premier scientifique suggère de modéliser
l'évolution du nombre de poissons par une suite arithmétique.
Pourquoi le graphique laisse-t-il penser qu'une suite arithmétique
pourrait convenir ?
2) Ce premier scientifique choisit de modéliser l'évolution
du nombre de poissons par la suite arithmétique (un),
de raison r = -300 et de premier terme u0
=5150 . Ainsi un représente le nombre de
poissons l'année (1990 + n).
a) Quelle interprétation peut-on donner de la raison de cette
suite pour la population de poissons ?
b) Exprimer un en fonction de n.
c) Calculer l'effectif de la population prévue par ce modèle
en 2004.
3) Un deuxième scientifique n'est pas convaincu par ce modèle
et propose pour cette population une évolution exponentielle.
En effet, il remarque que :
II choisit alors de modéliser l'évolution du nombre
de poissons par la suite géométrique (vn),
de raison q = 0,935et de premier terme v0 =5150.
Ainsi vn représente le nombre de poissons
l'année (1990 + n).
a) Quel est le pourcentage de diminution annuelle du nombre de poissons
selon ce modèle ?
b) Exprimer vn en fonction de n.
c) Calculer v14 . Le résultat sera arrondi
à l'unité.
4) En 2004, un comptage a été effectué et on a relevé 1 980 poissons
dans la portion de rivière étudiée. a) Lequel des deux modèles proposés
ci-dessus est-il le plus pertinent ? Justifier la réponse.
b) On choisit d'utiliser le modèle proposé par le second scientifique.
Calculer v30 et v40. (les résultats
seront arrondis à l'unité).
Déterminer l'année à partir de laquelle la population des poissons
passera en dessous des 500 individus.
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