EXERCICE 3 (5 points)
La reine Cléopâtre ordonna à son architecte, le
célèbre Numérobis, de réaliser une pyramide
régulière à base carrée dont les dimensions
devaient être telles que le carré de la hauteur soit
égal à l'aire de chaque face triangulaire de cette pyramide
1)
Compléter le dessin donné en annexe, représentant
la pyramide en perspective cavalière ;
L est le centre du carré AOUT, I est le sommet de la pyramide,
J le milieu du segment [OU].
On pose OJ = r ; IL = h et t = IJ/JL .
2) a) Dans le triangle AOU , J et L sont les milieux respectifs
des segments [OU] et [AU]
d'après le théorème
de la droite des milieux , LJ = AO/2 = OU/2 = OJ = r. donc LJ
= r.
b) Le triangle IJL est rectangle en L d'après le théorème
de Pythagore :
IJ² = IL² + LJ² = h² + r² .
c)
d) Aire du triangle OUI en fonction de r et h.
3) L'exigence de Cléopâtre se traduit par la relation
:
4) a)
b)
donc t² - t - 1 = 0
5)a)
donc
b) c)