Bac L session 2006 Polynésie

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EXERCICE 3 (5 points)

La reine Cléopâtre ordonna à son architecte, le célèbre Numérobis, de réaliser une pyramide régulière à base carrée dont les dimensions devaient être telles que le carré de la hauteur soit égal à l'aire de chaque face triangulaire de cette pyramide

1)

Compléter le dessin donné en annexe, représentant la pyramide en perspective cavalière ;
L est le centre du carré AOUT, I est le sommet de la pyramide, J le milieu du segment [OU].
On pose OJ = r ; IL = h et t = IJ/JL .
2)
a) Dans le triangle AOU , J et L sont les milieux respectifs des segments [OU] et [AU]
d'après le théorème de la droite des milieux , LJ = AO/2 = OU/2 = OJ = r. donc LJ = r.
b) Le triangle IJL est rectangle en L d'après le théorème de Pythagore :
IJ² = IL² + LJ² = h² + r² .
c)

d) Aire du triangle OUI en fonction de r et h.

3) L'exigence de Cléopâtre se traduit par la relation :


4) a)

b)

donc t² - t - 1 = 0
5)a)

donc

b) c)