EXERCICE 1 (6 points)
Un jeu consiste à jeter un dé de forme tétraédrique
dont les faces sont numérotées de 1 à 4.
Ce dé est pipé de telle façon que la probabilité
d'obtenir une face est proportionnelle au numéro porté
par cette face.
On note pi, la probabilité d'obtenir le nombre
i pour i
{l;2;3;4}.
1. La probabilité d'obtenir une face est proportionnelle
au numéro porté par cette face donc,
il existe un réel k tel que pi
= ki pour tout i
{l;2;3;4}.
p1 + p2 + p3
+ p4 = 1 équivaut à k + 2k
+ 3k + 4k = 1 donc 10 k = 1 ; k = 1/10
on en déduit : p1 = 1/10 ; p2
= 2/10 = 1/5 ; p3 = 3/10 ; p4
= 4/10 = 2/5.
A : " obtenir un nombre pair " = {2 ; 4 }
p(A) = p2 + p4 = 1/5 + 2/5 = 3/5
2. a On peut résumer cette expérience par un
arbre :
100 × 1,1 ×
1,1 × 1,1 = 133
€ ; 100 × 1,1
× 1,1 - 11 = 110
€
(100 × 1,1 -11)
×1,1 = 109 €
; (100 × 1,1 -11)
- 11 = 88 €
(100 - 11) × 1,1
× 1,1 = 108 €
; (100 - 11) × 1,1
- 11 = 87 €
(100 - 11 - 11) ×1,1
= 86 € ; (100 - 11 - 11) - 11 = 67 €
b) Le joueur perd si son gain est inférieur à
sa mise.
B : " gagner 110 euros " ; P(B) = (3/5) ×
(3/5) × (2/5) =
18/125
c) " gagner 67 € " a pour probabilité
: (2/5) × (2/5)
× (2/5) = 8/125
" gagner 86 € " a pour probabilité : (2/5) ×
(2/5) × (3/5) =
12/125
" gagner 87 € " a pour probabilité : (2/5) ×
(3/5) × (2/5) =
12/125
" gagner 88 € " a pour probabilité : (3/5) ×
(2/5) × (2/5) =
12/125
d) " gagner moins de 100 € " a pour probabilité
: 8/125 + 3 ×12/125
= 8/125 + 36/125 = 44/125
" gagner plus de 100 € " : 1 - 44/125 = 81/125 >
44/125
donc la probabilité, pour ce joueur, de gagner de l'argent
est supérieure à celle d'en perdre.