EXERCICE 2 (5 points)
Commun tous les candidats
Une compagnie de transport désire optimiser les contrôles
afin de limiter limpact
des fraudes et les pertes occasionnées par cette pratique.
Cette compagnie effectue une étude basée sur deux
trajets par jour pendant les vingt
jours ouvrables dun mois soit au total quarante trajets. On
admet que les contrôles
sont indépendants les uns des autres et que la probabilité
pour tout voyageur dêtre
contrôlé est égale à p.
Le prix de chaque trajet est de dix euros, en cas de fraude lamende
est de cent euros.
Claude fraude systématiquement lors des quarante trajets
soumis à cette étude.
Soit Xi la variable aléatoire qui prend la valeur
1 si Claude est contrôlé au i-ème
trajet et la valeur 0 sinon.
Soit X la variable aléatoire définie par X = X1
+ X2 + X3 + .. +X40.
1. Déterminer la loi de probabilité de X.
2. Dans cette partie on suppose que p = 1/20
a. Calculer lespérance mathématique de X.
b. Calculer les probabilités P(X = 0), P(X = 1) et P(X =
2).
c. Calculer à 10-4 près la probabilité
pour que Claude soit contrôlé au plus
deux fois.
3. Soit Z la variable aléatoire qui prend pour valeur le
gain algébrique réalisé
par le fraudeur.
Justifier légalité Z = 400-100X puis calculer
lespérance mathématique de Z
pour p = 1/5
4. On désire maintenant déterminer p afin que la probabilité
que Claude subisse
au moins trois contrôles soit supérieure à 99%.
a. Démontrer que P(X
2 ) = (1-p)38 (741p2 +38p +1).
b. Soit f la fonction définie sur [0 ; 1] par : f
(x) = (1- x)38 (741x2
+38x +1).
Montrer que f est strictement décroissante sur [0
; 1] et quil existe un
unique réel x0 appartenant à lintervalle
[0 ; 1] tel que f (x0) = 0,01.
Déterminer lentier naturel n tel que n/100 < x0
< (n +1)/100
.
c. En déduire la valeur minimale quil faut attribuer
à p afin que la probabilité
que Claude subisse au moins trois contrôles soit supérieure
ou égale
à 99%. (On exprimera p en fonction de x0).
Correction :
1. X correspond au nombre de fois ou Claude est contrôlé
sur les 40 trajets.
Chaque variable aléatoire Xi ne prend que deux
valeurs 0 ou 1 , 0 si Claude n'a pas été contrôlé
et 1 sinon. L'expérience consistant à répéter n =
40 fois cetteépreuve de façon indépendante, est donc un
schéma de Bernoulli de paramètre p = p( Xi
= 1) et n = 40.
Pour tout entier naturel k compris entre 0 et 40 on a :
2. a.
On sait que p = 1/20
E(Xi ) = np = 40 ×
1/20 = 2
b.
c.
( voir cette page )
3.
Le fraudeur économise 400 € si il ne se fait jamais
prendre par contre si il se fait prendre k fois
où k est un entier naturel entre 0 et 40 , il devra payer
100k €, donc il aura économisé en fait 400-100k
Par conséquent : Z = 400 - 100X.
E(Z) = E(400 - 100X) = 400 - 100 E(X) ( voir
propriétés de la moyenne )
E(Z) = 400 - 100np = 400 - 100 ×
40 × 1/5 = 400
- 800 = - 400
Sur 40 trajets il devra payer en moyenne 400 €
4. a.
b.
f(0) = 1 et f(1) = 0
donc f (0) > 0,01 > f (1) donc d'après
le théorème de la bijection , l'équation f(x)
= 0,01 admet une solution unique x0 sur l'intervalle
[0 ; 1].
D'après la calculatrice :
f(0,19) > 0,01 > f(0,20) on peut en déduire
:
19/100 < x0 < 20/100
par conséquent n = 19.
c.
On veut déterminer la valeur minimale de p telle que p(X
3)
0,99
la valeur minimale de p tel que p(X
3) 0,99 est p
= x0