BAC S Pondichery session 2006

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Exercice 2 :
1. Toute transformation qui, à tout point M d'affixe z, associe le point M' d'affixe z' définie par :
z' = az + b a et b sont deux nombres complexes telle que a ≠ 0 et a ≠ 1 est une similitude de rapport |a| d'angle = Arg(a) et de centre ( d'affixe ) tel que = a + b .


f est une similitude directe de centre ( 1 + i ) , le rapport k = / 2 et l'angle = / 4
2. a. Soit zn l'affixe du point An pour tout entier naturel n.


2.b.
Justification utilisant la propriété caractéristique d'une similitude
( conservation des rapports de longueur )
La suite un = An est géométrique de raison / 2 , en effet chaque segment [ An+1 ] est l'image du segment [ An ] par une similitude de rapport / 2 , ce qui permet de conclure que pour tout entier naturel non nul on a : An+1 = ( / 2 ) An donc :

Justification par le calcul

donc la suite un = An est géométrique de raison / 2 et de premier terme :

2 c.

A partir du rang n0 = 8 tous les points
An appartiennent au disque de centre O et de rayon 0,1
3.a

d'après la réciproque du théorème de Pythagore le triangle A0A1 est rectangle en A1
de plus A1 = A0A1 donc le triangle est isocèle en A1
la similitude directe conserve les angles orientés donc la nature des triangles .
AnAn+1 =( f o f o ......o f )(A0A1 ) ( on compose n fois la similitude f )
AnAn+1 est de même nature que A0A1
AnAn+1 est un triangle isocèle et rectangle en An+1
3. b.