Exercice 4 : (7 points )
1.
2.
l'équation différentielle (H) est de la forme z'
= az + b
la solution générale de l'équation différentielle
est de la forme z(t) = Ceat - b/a
où C est une constante réelle quelconque.
3. Or d'après 1. ( partie A )
y solution de (E) équivaut à z = ln
y solution de (H) équivaut à y = ez.
4.
On a : f(0) = 1 ( en l'an 2000 l'éffectif initial
est de 1000 )
donc
La condition initiale conduit donc à considérer la
fonction f définie par :
a.
b.
On en déduit que f est strictement décroissante
sur [0 ; + [
c.
Au bout de combien d'années, selon ce modèle, la taille
de l'échantillon sera-t-elle inférieure à vingt
individus , c'est à dire encore 0,02 milliers d'individu
:
il suffit pour répondre à cette question de résoudre
l'inéquation f(t) < 0,02 d'après ce qui
précéde il faudra 17 année pour que f(t)
< 0,02.
En 2017 la taille de l'échantillon sera inférieure
à 20 individus.
Partie B
Un arbre pondéré permet de résumer l'énoncé
:
1. P(M) = 0,5 ( 50 % des animaux testé sont malades
)
PM(T) = 0,99 ( 99 % des animaux qui sont malades sont
testé positif )
P(T)
= 0,001 ( 0,1 % des animaux qui ne sont pas malades sont testé
positif )
2.
P(M T) = PM(T)
× P(M) = 0,99
× 0,5 = 0,495
P(
T) = P(T)
× P()
= 0,001 × 0,5
= 0,0005
P(T) = P(M
T) + P(
T) = 0,4955
3.
PT(M) = P(M
T) /P(T) = 0,495/0,4955
0,99899 < 0,999
donc le test n'est pas fiable.