Bac S session 2006 Liban

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EXERCICE 3 (7 points)
Partie A : étude d'une fonction
Soit f la fonction définie surFintervalle [0 ;+ [par f (x) = x ln(x + l).
Sa courbe représentative (C) dans un repère orthogonal est donnée en annexe,
1. a) Montrer que la fonction f est strictement croissante sur l'intervalle [0; + [.
b) L'axe des abscisses est-il tangent à la courbe (C) au point O ?
2. On pose

a) Déterminer trois réels a, b et c tels que, pour tout x ≠ -1 ,

b) Calculer I.
3. A l'aide d'une intégration par parties et du résultat obtenu à la question 2, calculer, en unités d'aires, l'aire A de la partie du plan limitée par la courbe (C) et les droites d'équations
x = 0, x = 1 et y = 0.
4. Montrer que l'équation f (x) = 0,25 admet une seule solution sur l'intervalle [0;l].
On note cette solution. Donner un encadrement de d'amplitude 10^-2.
Partie B : étude d'une suite
La suite ( u_n ) est définie sur par

1. Déterminer le sens de variation de la suite ( u_n ) La suite ( u_n ) converge-t-elle ?
2. Démontrer que pour tout entier naturel n non nul,

En déduire la limite de la suite ( u_n ) .