Exercice n°2 ( candidat n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité)

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct .[unité graphique : 6 cm].
On considère la suite () de nombre réels définie par :

et pour tout entier naturel n,

Pour tout entier naturel n, on appelle Mn le point du cercle de centre O de rayon 1 tel que l'angle ait pour mesure .
1.Placer les douze points M0, M1, M2, ....., M11
2. On appelle zn l'affixe de Mn .Montrer que pour tout entier naturel n, on a l' égalité :

3. a. Montrer pour tout entier naturel n, les propriétés suivantes : - Les points Mn, Mn+6 sont diamétralement opposés. - Les points Mn, Mn+12 sont confondus b. Montrer que pour tout entier naturel n, on a l'égalité :

En déduire que la distance Mn Mn+4 vaut puis que le triangle Mn Mn+4 Mn+8 est équilatéral. On admettra que tous les triangles équilatéraux ayant pour sommets des points Mn sont de la forme Mn Mn+4 Mn+8 . 4. Douze cartons indiscernables au toucher, marqués M0, M1, M2, ....., M11 sont disposés dans une urne. On tire au hasard et simultanément trois cartons de l'urne . Calculer la probabilité d'obtenir les trois sommets d'un triangle équilatéral.