Exercice n°2 ( candidat n'ayant pas suivi l'enseignement de
spécialité)
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct .[unité
graphique : 6 cm].
On considère la suite ()
de nombre réels définie par
:
et pour tout entier naturel n,
Pour tout entier naturel n, on appelle Mn le point du cercle
de centre
O de rayon 1 tel que l'angle ait
pour mesure .
1.Placer les douze points
M0, M1, M2, ....., M11
2. On appelle zn l'affixe de Mn .Montrer que pour
tout entier naturel n, on a l' égalité
:
3. a. Montrer pour tout entier naturel n, les propriétés suivantes :
- Les points Mn, Mn+6 sont
diamétralement opposés.
- Les points Mn, Mn+12
sont confondus
b. Montrer que pour tout entier naturel
n, on a l'égalité :
En déduire que la distance
Mn Mn+4 vaut
puis que le triangle Mn Mn+4
Mn+8 est équilatéral.
On admettra que tous les triangles équilatéraux ayant pour sommets des
points Mn sont de la forme Mn Mn+4
Mn+8 . 4. Douze cartons indiscernables
au toucher, marqués M0, M1, M2, .....,
M11 sont disposés dans une
urne. On tire au hasard et simultanément trois cartons
de l'urne . Calculer la probabilité
d'obtenir les trois sommets d'un triangle équilatéral.