Problème (Commun à tout les candidats )

Problème ( 9 points ) ( Commun à tout les candidats )

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct .Toutes les courbes demandées seront représentées sur un même graphique(unité graphique : 2cm).

A. ETUDE D' UNE FONCTION f

On définit la fonction f sur ]0 ; +∞[ par

1. Calculer les limites de f en 0 et en +∞.
2. étudier le sens de variation de f sur ]0 ; +∞[ .
3. Soit la courbe représentative de f dans et A le point de d'abscisse 3.
Calculer l'ordonnée de A. Soit B le point de d'abscisse 5/4, P le projeté orthogonal de B sur l'axe et H le projeté orthogonal de B sur l'axe .
Déterminer les valeurs exactes des coordonnées des points B, P et H. placer les points A, B, P et H dans le repère et représenter la courbe .

B. UTILISATION D' UNE ROTATION

Soit r la rotation ce centre O et d'angle A tout point M du plan d'affixe z, la rotation r associe le point M' d'affixe z'.
1. a. Donner z' en fonction de z. On note z = x + iy et z' = x' + iy' (x, y, x', y' réels ) exprimer x' et y' en fonction de x et y, puis exprimer x et y en fonction de x' et y'.
b. Déterminer les coordonnées des points A', B' et P' images respectives des points A, B et P par la rotation r.
2. On appelle g la fonction définie sur IR par

et sa courbe représentative dans le repère .
a. Montrer que lorsqu'un point M appartient à , son image M' par r appartient à . On admet que lorsque le point M décrit , le point M' décrit .
b. Tracer sur le graphe précédent les points A', B', P' et la courbe (L'étude des variations n'est pas demandée).

C. CALCUL D'INTéGRALES
On rappelle que l'image d'un domaine plan par une rotation est un domaine de même aire.

1. Calculer l'intégrale

Interpréter graphiquement cette intégrale.
2.a Déterminer, en unités d'aire, l'aire A du domaine plan D limité par les segments [AO], [OH], [HB]
Trouver une relation entre A et I puis en déduire la valeur exacte de l'intégrale I.