1) a. Le point D a pour coordonnées (0;0;1)
les points E, F et G sont les milieux respectifs des segments [AB],
[BC] et [AC] donc
b. D est un point de la droite (DF) et
est un vecteur directeur de la droite
on en déduit une représentation
paramétrique de la droite (DF) ( puisque c'est l'ensemble
des points M de coordonnées
(x ; y ; z) tels que :
= t où t
décrit l'ensemble des réels :
c) La droite (DF) est orthogonale au plan P donc
est un normal au plan P.
son équation est donc de la forme :
le point A(0 ; 0 ; 0) appartient à ce plan donc ses coordonnées
vérifient l'équation du plan donc d = 0
une équation cartésienne
du plan P est donc :
d) Les coordonnées (x ; y ; z) du point H doivent vérifier
à la fois une représentation
paramétrique de la droite (DF) et une équation cartésienne
du plan P.
On obtient donc le système :
Les coordonnées de H sont donc :
e)
2. a.
b.
la médiane issue du sommet M du triangle MEG est aussi médiatrice,
bissectrice et hauteur .
Soit N le pied de la hauteur issue de M du triangle MEG, dans le triangle
MNE rectangle en N on a :
c. La fonction sinus est croissante sur [0 ; /2
] :
ME² maximal.
d.
le minimum de ME² est atteint pour t = 5/6 donc la position du
point M pour que
soit maximale est donc le point M0 tel que :