Géométrie dans l'espace ( bac S métropole 2014 exercice 4)


1) a. Le point D a pour coordonnées (0;0;1)
les points E, F et G sont les milieux respectifs des segments [AB], [BC] et [AC] donc

b. D est un point de la droite (DF) et est un vecteur directeur de la droite

on en déduit une représentation paramétrique de la droite (DF) ( puisque c'est l'ensemble des points M de coordonnées
(x ; y ; z) tels que : = t où t décrit l'ensemble des réels :

c) La droite (DF) est orthogonale au plan P donc est un normal au plan P.
son équation est donc de la forme :

le point A(0 ; 0 ; 0) appartient à ce plan donc ses coordonnées vérifient l'équation du plan donc d = 0
une équation cartésienne du plan P est donc :

d) Les coordonnées (x ; y ; z) du point H doivent vérifier à la fois une représentation paramétrique de la droite (DF) et une équation cartésienne du plan P.
On obtient donc le système :

Les coordonnées de H sont donc :

e)

2. a.

b.

la médiane issue du sommet M du triangle MEG est aussi médiatrice, bissectrice et hauteur .
Soit N le pied de la hauteur issue de M du triangle MEG, dans le triangle MNE rectangle en N on a :

c. La fonction sinus est croissante sur [0 ; /2 ] :



ME² maximal.
d.

le minimum de ME² est atteint pour t = 5/6 donc la position du point M pour que soit maximale est donc le point M0 tel que :