Bac SMS session 2006 Polynésie

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PROBLEME (12 points)
Partie A - Etude d'une fonction
On considère la fonction f définie sur l'intervalle [1850 ; 2020] par : f(t) = 250 + 25 e0,01t - 18,5.
1) Pour tout réel t de l'intervalle [1850 ;2020],

( ex > 0 quelque soit le réel x )
2) a) Justifier que f '(t) est positif sur l'intervalle [1850 ; 2020].
b) f (1850) = 250 + 25 e18,5 - 18,5 = 250 + 25e0 = 250 + 25 = 275
f (2020) = 250 + 25 e20,20 - 18,5 = 250 + 25 e1,7

3) tableau de valeurs

4)

Partie B - Teneur en dioxyde de carbone contenu dans l'atmosphère
1)
a) Pour t = 2010, on lit approximativement f(t) = 374 ppm donc la teneur en dioxyde de carbone (CO2) qu'on peut prévoir en 2010 est de 374 ppm.
b) La courbe (C) est au dessus de la droite d'équation y = 350 pour t > 1989 .
A partir de 1989 la teneur en dioxyde de carbone (CO2) a dépassé 350 ppm.
2) 250 + 25e0,01t - 18,5 = 350.
25e0,01t - 18,5 = 100
e0,01t - 18,5 = 4
ln e0,01t - 18,5 = ln 4
0,01 t - 18,5 = ln 4
t = (ln 4 + 18,5)/0,01 1989 ce qui correspond à la valeur trouvée au 1. b)