Fonctions bijectives

Soient I et J deux intervalles et f une fonction définie sur I, on dit que f réalise une bijection de I sur J si :
  • pour tout réel x de I, le réel f(x) appartient à J.
  • pour tout réel m de J, l'équation f(x) = m admet une seule solution ( tout réel m de J admet un seul antécédent sur I)

On dit aussi fonction bijective.

Graphiquement : pour tout réel de J la droite d'équation y = m coupe la courbe représentative de f en un seul point.

Propriété : si f est une fonction dérivable sur l'intervalle [a ; b]. Si, pour tout réel x de ]a ; b[ , f'(x) > 0 ( respectivement f'(x) < 0 ), alors f est une bijection de [a ; b] sur [f(a) ; f(b)] ( respectivement sur [f(b) ; f(a)])

Variante de ce théorème :
Si f est une fonction dérivable sur [a ; b] et si, pour tout x de ]a ; b[ , f'(x) > 0 ( respectivement f'(x) < 0 ), alors f est strictement croissante (respectivement strictement décroissante ) sur [a ; b] et pour tout élément l de [f(a) ; f(b)], l'équation f(x) = l admet une solution unique sur [a ; b]. ( voir méthode de dichotomie )

Remarque : il n'est pas nécessaire que f soit dérivable pour être une bijection.

Si f est une fonction bijective de I sur J, alors il existe une fonction appelée fonction réciproque de f et noté f -1 telle que :

f-1 est une fonction bijective de J sur I

Exemple de fonctions réciproques :

la restriction de la fonction carrée à l'intervalle [0 ; +∞[ et la fonction racine carrée sont des fonctions réciproques :

la fonction cube et la fonction racine cubique sont des fonctions réciproques :

la fonction logarithme népérien et la fonction exponentielle sont des fonctions réciproques :

Comment déterminer la dérivée d'une fonction réciproque connaissant la dérivée de la fonction elle-même