Soient I et J deux
intervalles et f une fonction définie sur I, on dit que f réalise
une bijection de I sur J si :
On dit aussi fonction bijective. |
Graphiquement : pour
tout réel de J la droite d'équation y = m coupe la courbe représentative
de f en un seul point.
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Propriété
: si f est une fonction dérivable sur l'intervalle [a ; b].
Si, pour tout réel x de ]a ; b[ , f'(x) > 0 ( respectivement f'(x)
< 0 ), alors f est une bijection de [a ; b] sur [f(a) ; f(b)] (
respectivement sur [f(b) ; f(a)]) Variante de ce théorème : Si f est une fonction dérivable sur [a ; b] et si, pour tout x de ]a ; b[ , f'(x) > 0 ( respectivement f'(x) < 0 ), alors f est strictement croissante (respectivement strictement décroissante ) sur [a ; b] et pour tout élément l de [f(a) ; f(b)], l'équation f(x) = l admet une solution unique sur [a ; b]. ( voir méthode de dichotomie ) Remarque : il n'est pas nécessaire que f soit
dérivable pour être une bijection. |
Si f est une fonction
bijective de I sur J, alors il existe une fonction appelée fonction
réciproque de f et noté f -1 telle que :
f-1 est une fonction bijective de J sur I |
Exemple de fonctions
réciproques :
la restriction de la fonction carrée à l'intervalle [0 ; +∞[ et la fonction racine carrée sont des fonctions réciproques : la fonction cube et la fonction racine cubique sont des fonctions réciproques : la fonction logarithme népérien et la fonction exponentielle sont des fonctions réciproques :
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Comment déterminer la dérivée d'une fonction réciproque connaissant la dérivée de la fonction elle-même |