Exercice 1 : des
boulons
Une entreprise industrielle utilise de grandes quantités
dun certain type de boulons.
Un contrôle de qualité consiste à vérifier
que le diamètre de la tête ou le diamètre du pied dun
boulon est conforme à la norme en vigueur.
Dans ce qui suit, tous les résultats approchés seront
donnés à 10-2 près.
1. Un boulon de ce type est considéré comme
conforme pour le diamètre de sa tête si celui-ci
est, en millimètres, compris entre 25,30 et 25,70.
On note D la variable aléatoire qui, à chaque boulon
choisi au hasard dans un lot très important, associe le diamètre
de sa tête.
On suppose que D suit la loi normale de moyenne 25,50 et décart-type
0,10.
Déterminer la probabilité quun boulon choisi
au hasard dans le lot soit conforme pour le diamètre de sa
tête.
2. Dans un lot de ce type de boulons, 96 % ont le diamètre
de la tête conforme.
On prélève au hasard 10 boulons de ce lot pour vérification
du diamètre de leur tête. Le stock est suffisament important pour
que lon puisse assimiler ce prélèvement à un
tirage avec remise de 10 boulons. On considère la variable aléatoire
X qui, à tout prélèvement de 10 boulons, associe le
nombre de boulons conformes pour le diamètre de la tête.
a. Justifier que la variable aléatoire X suit une
loi binomiale dont on déterminera les paramètres.
b. Calculer la probabilité que, dans un tel prélèvement,
au plus un boulon ne soit pas conforme pour le diamètre de la tête.
3. Dans cette question, on veut contrôler la moyenne µ
de lensemble des diamètres, en mm, des pieds de boulon constituant
un stock très important ; on se propose de construire un test dhypothèse.
On note Y la variable aléatoire qui, à chaque boulon
tiré au hasard dans le stock, associe le diamètre, en mm,
de son pied.
La variable aléatoire Y suit la loi normale de moyenne inconnue
µ et décart-type
= 0,1.
On désigne par
la variable aléatoire qui, à chaque échantillon
aléatoire de 100 boulons prélevé dans un stock,
associe la moyenne des diamètres des pieds de ces 100 boulons (le
stock est assez important pour que lon puisse assimiler ces
prélèvements à des tirages avec remise).
Lhypothèse nulle est H0 : µ = 10. Dans ce
cas, les boulons du stock sont conformes pour le diamètre de leur
pied.
Lhypothèse alternative est H1 : µ ≠
10.
Le seuil de signification du test est fixé à 0,05.
a. Justifier que, sous lhypothèse nulle H0,
suit la loi
normale de moyenne 10 et décart-type
0,01.
b. Sous lhypothèse nulle H0, déterminer
le nombre réel positif h tel que
p(10 - h
10 + h ) = 0,95
c. Enoncer la règle de décision permettant dutiliser
ce test.
d. On prélève un échantillon de 100 boulons
et on observe que, pour cet échantillon, la moyenne des diamètres
des pieds est
= 10,03.
Peut-on, au risque de 5%, conclure que les boulons du stock sont
conformes pour le diamètre de leur pied ?