bts MAI session 2002 exercice 1

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Exercice 1 : ( 8 points ) Assurances d’une flotte de véhicules
Les quatres questions de cet exercice sont indépendantes.
Dans un groupe d’assurances on s’intéresse aux sinistres suceptibles de survenir, une année donnée, aux véhicules de la flotte d’une importante entreprise de maintenance de chauffage collectif.
Dans cet exercice, sauf mention du contraire, les résultats sont à arrondir à 10-3 près.
1. Etude du nombre de sinistres par véhicule
Soit X la variable aléatoire qui, à tout véhicule tiré au hasard dans un des parcs de la flotte, associe le nombre de sinistres survenant pendant l’année considérée.
On admet que X suit la loi de Poisson de paramètre = 0,28
a) Calculer la probabilité de l’événement :
A : " un véhicule tiré au hasard dans le parc n’a aucun sinistre pendant l’année considérée "
b) Calculer la probabilité de l’événement :
B : " un véhicule tiré au hasard dans le parc a, au plus, deux sinistres pendant l’année considérée "
2. Etude du nombre de sinistres dans une équipe de 15 conducteurs.
On note E l’événement : " un conducteur tiré au hasard dans l’ensemble des conducteurs de l’entreprise n’a pas de sinistre pendant l’année considérée " .
On suppose que la probabilité de l’événement E est 0,6.
On tire au hasard 15 conducteurs dans l’effectif des conducteurs de l’entreprise. Cet effectif est assez important pour que l’on puisse assimiler ce prélèvement à untirage avec remise de 15 conducteurs.
On considère la variable aléatoire Y qui, à tout prélèvement de 15 conducteurs, associe le nombre de conducteurs n’ayant pas de sinistre pendant l’année considérée.
a) Justifier que la variable aléatoire Y suit une loi binomiale et déterminer ses paramètres.
b) Calculer la probabilité que, dans un tel prélèvement, 10 conducteurs n’aient pas de sinistre pendant l’année considérée.
3. Etude du coût des sinistres
Dans ce qui suit, on s’intéresse au coût d’une certaine catégorie de sinistres survenus dans l’entreprise pendant l’année considérée. On considère la variable aléatoire C qui, à chaque sinistre tiré au hasard parmi les sinistres de cette catégorie, associe son coût en euros.
On suppose que C suit la loi normale de moyenne 1 200 et d’écart type 200.
Calculer la probabilité qu’un sinistre tiré au hasard parmi les sinistres de ce type coûte entre 1 000 euros et
1 500 euros.
4. La question cidessous doit être traitée par les candidats de toutes les spécialités de BTS du groupement B, à l’exception du BTS Maintenance et exploitation des matériels aéronautiques.
On considère un échantillon de 100 véhicules prélevés au hasard dans le parc de véhicules mis en service depuis 6 mois. Ce parc contient suffisamment de véhicules pour qu’on puisse assimiler ce tirage à un tirage avec remise. On constate que 91 véhicules de cet échantillon n’ont pas eu de sinistre.
a) Donner une estimation ponctuelle du pourcentage p de véhicules de ce parc qui n’ont pas eu de sinistre 6 mois après leur mise en service.
b) Soit F la variable aléatoire qui à tout échantillon de 100 véhicules prélevés au hasard et avec remise dans ce parc, associe le pourcentage de véhicules qui n’ont pas eu de sinistre 6 mois après leur mise en service. On suppose que F suit la loi normale

où p est le pourcentage inconnu de véhicules du parc qui n’ont pas eu de sinistre 6 mois après leur mise en service. Déterminer un intervalle de confiance du pourcentage p avec le coefficient de confiance 95%.
c) On considère l’affirmation suivante : le pourcentage p est obligatoirement dans l’intervalle de confiance obtenu à la question b) . Est-elle vraie ? (On ne demande pas de justification.)
4. La question ci dessous doit être traitée uniquement par les candidats au BTS Maintenance et exploitation des matériels aéronautiques.
Pour un parc de véhicules, on a relevé le nombre de sinistres par véhicule pendant la première année de mise en service.
Pour les véhicules ayant eu, au plus, quatre sinistres, on a obtenu :

a) Compléter, après l’avoir reproduit, le tableau suivant :

b) Déterminer, à l’aide d’une calculatrice, une équation de la droite de régression de y en x sous la forme
y = ax + ba et b sont à arrondir à 10-2.
c) à l’aide de l’équation précédente, estimer le nombre de véhicules ayant eu six sinistres pendant leur première année de mise en circulation.