Exercice
2 : ( 12 points )
Equation différentielle, développement limité, relations fonctionnelles
Les 3 parties de cet exercice peuvent être traitées de façon
indépendante.
Partie A Résolution dune équation différentielle
On considère léquation différentielle (E) y'' - y' -
2y = (- 6x - 4)e-x.
où y est une fonction de la variable x, définie et deux
fois dérivable sur
, y' sa fonction dérivée première et y'' sa fonction
dérivée seconde.
1. Résoudre sur
léquation différentielle (E0) : y'' - y' -
2y = 0
2. Soit h la fonction définie sur par : h(x)
= (x² + 2x)e-x.
Démontrer que h est une solution particulière de léquation
différentielle (E).
3. En déduire lensemble des solutions de léquation
diférentielle (E)
4. Déterminer la solution f de léquation différentielle
E qui vérifie les conditions initiales :
f (0) = 1 et f '(0) = 1.
Partie B
Etude dune fonction
Soit f la fonction définie sur
par f (x) = (x + 1)² e-x.
Sa courbe représentative C dans un repère orthonormal est donnée
sur la figure ci après.
1. a) Calculer
b) Déterminer
en déduire
c) Interpréter graphiquement le résultat obtenu au b).
2. a) Démontrer que, pour tout x de ,
b) Résoudre dans ,
f ' (x)
0.
c) En déduire le sens de variation de f sur .
.
3. a) à laide du développement limité au voisinage
de 0 de la fonction exponentielle t
et
, donner le développement limité, à lordre 2, au voisinage
de 0 de la fonction x
e-x
b) Démontrer que le développement limité, à lordre
2, au voisinage de 0 de la fonction f est :
c) En déduire une équation de la tangente T à la courbe C
au point dabscisse 0 et la position relative de C et T au
voisinage de ce point.
Partie C Calcul intégral
1. a) La fonction f définie dans la partie B étant
une solution de léquation différentielle (E) :
y'' - y' - 2y = (- 6x - 4)e-x.
montrer que f vérifie, pour tout x de
,
b) Soit F la fonction définie sur
par :
Montrer que F est une primitive de f .
c) Vérifier que, pour tout x de ,
2. Utiliser ce qui précède pour démontrer que laire
A de la partie du plan hachurée sur la figure est, en unité daire,
A = 2e - 5.