bts MAI session 2003 exercice 1

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Exercice 1 : ( 9 points )
Les quatres questions de cet exercice sont indépendantes Dans une usine du secteur de l’agroalimentaire,
une machine à embouteiller
est alimentée par un réservoir
d’eau et par une file d’approvisionnement
en bouteilles vides, selon le schéma ci-contre.
L’exercice consiste en une étude statistique
du bon fonctionnement de ce système.

1. Défaut d’approvisionnement
On considère qu’il y a défaut d’approvisionnement :
– soit lorsque la file d’entrée des bouteilles est vide,
– soit lorsque le réservoir est vide.
On tire au hasard un jour ouvrable dans une année. On note A l’événement :
" la file d’attente est vide au moins une fois dans la journée ".
et B l’événement :
" le réservoir est vide au moins une fois dans la journée " .
On suppose que les événements A et B sont indépendants et une étude statistique a montré que
p(A) = 0,04 et p(B) = 0,02
Calculer la probabilité des événements suivants :
a) E1 = A B.
b) E2 : " la machine a connu au moins un défaut d’approvisionnement dans la journée "

2. Pannes de la machine sur une durée de 100 jours
On note X la variable aléatoire qui à toute période de 100 jours consécutifs, tirée au hasard
dans les jours ouvrables d’une année, associe le nombre de pannes de la machine. Une étude,
menée par le constructeur sur un grand nombre de machines de ce type, permet d’admettre
que X suit la loi de Poisson de paramètre = 0,5.
Déterminer, à l’aide de la table du formulaire :
a) p(X 2)
b) la probabilité de l’événement :
" la machine a au plus quatre pannes pendant la période de 100 jours consécutifs "
c) le plus petit entier n tel que : p(X n) 0,99.
Dans tout ce qui suit, les volumes sont exprimés en litres et tous les résultats approchés sont
à arrondir à 10-3.

3. Qualité de l’embouteillage à la sortie
On désigne par Y la variable aléatoire qui, à toute bouteille prise au hasard dans la production
d’une heure, associe le volume d’eau qu’elle contient. On admet que, lorsque la machine est
bien réglée, Y suit la loi normale de moyenne 1,5 et d’écart-type 0,01
Une bouteille d’eau est conforme aux normes de l’entreprise lorsqu’elle contient entre 1,47 et 1,53 litres d’eau.
Calculer la probabilité qu’une bouteille satisfasse à la norme.
4. Fiabilité d’une machine à embouteiller
On s’intéresse à une machine à embouteiller prélevée au hasard dans le parc des machines sur
le point d’être livrées par le constructeur.
On désigne par T la variable aléatoire qui, à toute machine prélevée au hasard dans le parc,
asssocie sa durée de vie avant une défaillance.
On note p(T > t) la probabilité qu’une machine prélevée au hasard dans le parc n’ait pas de
défaillance avant l’instant t, exprimé en jours.
On suppose que p(T > t) = e-0,005t .
a) Calculer la probabilité qu’une machine prélevée au hasard dans le parc fonctionne plus
de 200 jours sans panne.
b) Déterminer t pour que la probabilité qu’une machine prélevée au hasard dans le parc
fonctionne plus de t jours, soit égale à 0,8. Arrondir à l’entier par défaut.