bts MAI session 2004 exercice 2

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Correction :
Partie A :
1.
on a :
Pour tout réel x on a : y ' + (0,4x) y = 0 y ' = - 0,4 x
cette dernière équation différentielle est de la forme : y ' = a ya est la fonction définie ( et continue sur [0 ; +[ ) par a ( x) = -0,4 x
et dont une primitive sur [0 ; +[ est la fonction A définie par :
A (x) = - 0,2 x²
Les solutions de l’équation différentielle (E0) sur [ 0; +[ sont toutes les fonctions ayant pour écriture :

k est une constante réelle quelconque.
2. pour tout réel x de [0; +[ h ' (x) = 0.
on a h'(x) + 0,4 x h(x) = 0 + 0,4 x = 0,4 x , donc h vérifie l'équation (E) et par conséquent h est une solution particulière de l’équation (E).
3. La solution générale de (E) est donc la fonction définie sur [ 0; +[ par :
4.

Partie B :
1. On en déduit que la droite d'équation y = 0 est asymptote à la courbe C en + .
2. a)

2. b) sur [ 0; +[, f '(x) est du signe de 1 - x car 1 + x et e-0,2x² sont strictement positifs sur [ 0; +[ on en déduit le signe de f '(x) :

2. c)


3. Pour obtenir une équation de la tangente au point d'abscisse 0 il suffit de regarder le développement limité d'ordre 1 de f , l'équation est donc y = 0,4 x puisque :

est le développement limité à l'ordre 3 au voisinage de 0 de f.
la différence f(x) - 0,4 x est équivalent à - 0,08 x3 au voisinage de 0 , or - 0,08 x3 0 donc la courbe C est en dessous de sa tangente T au point d'abscisse 0 au voisinage de 0.
4.

Partie C :
1.

2. a )

2. b)

2. c) p(X x) pour tout réel x positif est la fonction de répartition de la variable aléatoire X or une fonction de répartition est croissante donc 0,99 = p(X 4,8 ) p(X 5 ), donc en surélevant les digues d’un mètre, la probabilité qu’une année prise au hasard, l’agglomération soit protégée est bien supérieure à 0,99, l'affirmation est vraie.