Correction
:
Partie A :
1. on a :
Pour tout réel x on a : y ' + (0,4x) y
= 0 y '
= - 0,4 x
cette dernière équation différentielle est de
la forme : y ' = a y où a est la fonction
définie ( et continue sur [0 ; +[
) par a ( x) = -0,4 x
et dont une primitive sur [0 ; +[
est la fonction A définie par :
A (x) = - 0,2 x²
Les solutions de l’équation différentielle (E0)
sur [ 0; +[ sont
toutes les fonctions ayant pour écriture :
où k est une constante réelle quelconque.
2. pour tout réel x de [0; +[
h ' (x) = 0.
on a h'(x) + 0,4 x h(x) = 0 + 0,4
x = 0,4 x , donc h vérifie l'équation
(E) et par conséquent h est une solution particulière
de l’équation (E).
3. La solution générale de (E) est donc la fonction
définie sur [ 0; +[
par :
4.
Partie B :
1. On en déduit que la droite d'équation y
= 0 est asymptote à la courbe C en + .
2. a)
2. b) sur [ 0; +[,
f '(x) est du signe de 1 - x
car 1 + x
et e-0,2x² sont strictement positifs
sur [ 0; +[ on
en déduit le signe de f '(x) :
2. c)
3. Pour obtenir une équation de la tangente au point
d'abscisse 0 il suffit de regarder le développement limité
d'ordre 1 de f , l'équation est donc y = 0,4
x puisque :
est le développement limité à l'ordre 3 au voisinage
de 0 de f.
la différence f(x) - 0,4 x est équivalent
à - 0,08 x3 au voisinage de 0 , or - 0,08
x3
0 donc la courbe C est en dessous de sa tangente T au point d'abscisse
0 au voisinage de 0.
4.
Partie C :
1.
2. a )
2. b)
2. c) p(X
x) pour tout réel x positif est la fonction de répartition
de la variable aléatoire X or une fonction de répartition
est croissante donc 0,99 = p(X
4,8 ) p(X
5 ), donc en surélevant
les digues d’un mètre, la probabilité qu’une année prise au hasard,
l’agglomération soit protégée est bien supérieure à 0,99, l'affirmation
est vraie.