Exercice 1 :
Les trois parties de cet exercice peuvent être traitées
de façon indépendante.
– Partie A – Résolution d’une équation différentielle
–
On considère l’équation différentielle (E)
:
où y est une fonction de la variable réelle
x, définie et dérivable sur ] -1; +[
et y ' sa fonction dérivée.
1. Démontrer que les solutions sur ]- 1; +[
de l’équation différentielle (E0) :
(1 + x)y' + y = 0 sont les fonctions définie
par
où k est une constante réelle quelconque .
2. Soit g la fonction définie sur ] -1; +[
par
Démontrer que la fonction g est une solution particulière
de l’équation différentielle (E).
3. En déduire l’ensemble des solutions de l’équation
différentielle (E).
4. Déterminer la solution f de l’équation
différentielle (E) qui vérifie la condition initiale
f (0) = 2.
– Partie B – Etude d’une fonction –
Soit f la fonction définie sur ] -1; +[
par
Sa courbe représentative C, dans un repère orthonormal
où l’unité graphique est 1 cm, est donnée ci
dessous :
1. On admet que :
Que peut-on en déduire pour la courbe C ?
2. a) Démontrer que, pour tout x de ] 1; +[,
2. b) Résoudre dans ] -1; +[,
l’inéquation 1 + ln(1 + x)
0 En déduire le signe de
f (x) lorsque x varie dans ] -1; +[.
2. c) Etablir le tableau de variation de f .
3. Un logiciel de calcul formel donne le développement
limité, à l’ordre 2, au voisinage de 0, de la fonction
f :
Ce résultat, admis, n’a pas à être démontré.
3. a) En déduire une équation de la tangente
T à la courbe C au point d’abscisse 0.
3. b) Etudier la position relative de C et T au voisinage
de leur point d’abscisse 0.
– Partie C Calcul intégral –
1. Déterminer la dérivée de la fonction
G définie sur ] -1; +[
par
2. En déduire qu’une primitive de la fonction f
sur ] -1; +[
est définie par
3. a) On note
Démontrer que :
3. b) Donner la valeur approchée arrondie à
10-2 de I.
3. c) Donner une interprétation graphique du résultat
obtenu au b).