sujet de BTS session 2006

[Autres sujets][Correction ]

Exercice 1 : ( 11 points )
Les trois parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante.
A. Résolution d'une équation différentielle
On considère l'équation différentielle (E) : y'' - 3y' - 4y = -5e-x
y est une fonction de sa variable x, définie et deux fois dérivable sur , y' la fonction dérivée de y et y'' sa fonction dérivée seconde.
1. Déterminer les solutions sur de l'équation différentielle (E0) : y'' - 3y' - 4y = 0.
2. Soit h la fonction définie sur par h(x) = x e-x.
Démontrer que la fonction h est une solution particulière de l'équation différentielle (E).
3. En déduire l'ensemble des solutions de l'équation différentielle (E).
4. Déterminer la solution f de l'équation différentielle (E) qui vérifie les conditions initiales
f (0) = 2 et f ' (0) = - 1
B . Etude locale d'une fonction
La courbe C ci-dessous est la représentation graphique, dans un repère orthonormal , de la fonction f définie sur par f (x) = (x+ 2) e-x.

1. Démontrer que le développement limité à l'ordre 3, au voisinage de 0, de la fonction f est :

2. Déduire du 1. une équation de la tangente T à la courbe C au point d'abscisse 0.
3. Etudiez la position relative de C et T au voisinage du point d'abscisse 0.
C. Calcul intégral
On note

1. A l'aide d'une intégration par parties, démontrer que I = 3 - 3,6e-0,6.
2. Donner la valeur approchée arrondie à 10-3 de I.
3. Donner une interprétation graphique du nombre I.