sujet de BTS session 2006

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Exercice 2 : (9 points )
Une entreprise fabrique des chaudières de deux types :
- des chaudières dites " à cheminée ",
- des chaudières dites " à ventouse ".
Les quatres parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante.
A Ajustement affine.
Le nombre de chaudières fabriquées lors des années précédentes est donné par le tableau suivant :

1. A l'aide d'une calculatrice,déterminer :
a. le coefficient de corrélation linéaire de la série statistique double de variable x et y ; arrondir à 10^-2 ;
b. Déterminer une équation de la droite de régression de y en x, sous la forme y = ax + b, où a sera arrondi à 10^-2 et b sera arrondi à l'unité.
2. En supposant que la tendance observée se poursuive pendant deux années, estimer le nombre de chaudières qui seront fabriquées l'année de rang 7.
B Probabilité conditionnelles
L'entreprise a fabriqué en un mois 900 chaudières à cheminée et 600 chaudières à ventouse. Dans ce lot, 1 % des chaudières à cheminée sont défectueuses et 5 % des chaudières à ventouse sont défectueuses.
On prélève au hasard un chaudière dans la production de ce mois. Toutes les chaudières ont la même probabilité d'être prélevées.
On considère les évènements suivants :
A :" La chaudière est à cheminée " ;
B :" La chaudière est à ventouse ";
D : "La chaudière présente un défaut ".
1. Déterminer P(A), P(B) , P(D/A) et P(D/B).
2. Calculer P(D A) et P(D B).
3. En remarquant que D = (D A) (D B) et que les évènements (D A) et (D B) sont incompatibles, calculer P(D) et P().
C. Loi normale
Soit X la variable aléatoire qui, à chaque chaudière prélevée au hasard dans la production, associe sa durée de fonctionnement en années. On admet que X suit une loi normale de moyenne 15 et d'écart type 3.
Une chaudière est dite " amortie " si sa durée de fonctionnement est supérieure ou égale à 10 ans.
Calculer la probabilité qu'une chaudière prélevée au hasard dans la production soit " amortie " ; arrondir à 10^-3 .
D. Intervalle de confiance
On considère un échantillon de 100 chaudières prélevées au hasard dans un stock important. Ce stock est assez important pour qu'on puisse assimiler ce tirage à un tirage avec remise. On constate que 94 chaudières sont sans aucun défaut.
1. Donner une estimation ponctuelle de la fréquence inconnue p des chaudières de ce stock qui sont sans aucun défaut.
2. Soit F la variable aléatoire qui, à tout échantillon de 100 chaudières prélevées au hasard et avec remise dans ce stock, associe la fréquence des chaudières de cet échantillon qui sont sans aucun défaut.
On suppose que F suit la loi normale de moyenne p et d'écart type

où p est la fréquence inconnue des chaudières du stock qui sont sans aucun défauts.
Déterminer un intervalle de confiance de la fréquence p avec le coefficient de confiance 95 %. Arrondir les bornes à 10^-2 .
3. On considère l'affirmation suivante : " la fréquence p est obligatoirement dans l'intervalle de confiance obtenu à la question 2. "
Est-elle vrai ? ( On ne demande pas de justification. )