bts MAI session 1999 exercice 1

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Exercice 1 : ( 9 points ) Production industrielle et contrôle de qualité
Les quatres questions de cet exercice sont indépendantes.
Une entreprise de matériel pour l’industrie produit des modules constitués de deux types de pièces : P1 et P2.
1. Une pièce P1 est considérée comme bonne si sa longueur, en centimètres, est comprise entre 293,5 et 306,5. On note L la variable aléatoire qui, à chaque pièce P1 choisie au hasard dans la production d’une journée, associe sa longueur.
On suppose que L suit une loi normale de moyenne 300 et d’écart type 3.
Déterminer, à 10-2 près, la probabilité qu’une pièce P1 soit bonne.
2. On note A l’événement :
" une pièce P1 choisie au hasard dans la production des pièces P1 est défectueuse"
On note de même B l’événement :
" une pièce P2 choisie au hasard dans la production des pièces P2 est défectueuse ".
On admet que les probabilités des deux événements A et B sont
p(A) = 0,03 et p(B) = 0,07 et on suppose que ces deux événements sont indépendants.

Un module étant choisi au hasard dans la production, calculer, à 10-4 près, la probabilité de chacun des événements
suivants :
E1 : " les deux pièces du module sont défectueuses " ,
E2 : " au moins une des deux pièces du module est défectueuses " ,
E3 : " aucune des deux pièces constituant le module n’est défectueuse " ,
3. Dans un important stock de ces modules, on prélève au hasard 10 modules pour vérification. Le stock est assez important pour qu’on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise de 10 modules.
On considère la variable aléatoire X qui, à tout prélèvement de 10 modules associe le nombre de modules réalisant l’événement E3 défini au 2.
On suppose que la probabilité de l’événement E3 est 0,902.
a. Expliquer pourquoi X suit une loi binômiale , déterminer les paramètres de cette loi.
b. Calculer, à 10-3 près, la probabilité que, dans un tel prélèvement, 9 modules au moins réalisent l’événement E3.
4. Dans cette question on s’intéresse au diamètre des pièces P2.
Soit la variable aléatoire qui, à tout échantillon de 60 pièces P2 prélevées au hasard et avec remise dans la production de la journée considérée, associe la moyenne des diamètres des pièces de cet échantillon. On suppose que suit la loi normale : de moyenne inconnue µ et d’écart type / avec = 0,084.
On mesure le diamètre, exprimé en centimètres, de chacune des 60 pièces P2 d’un échantillon choisi au hasard et avec remise dans la production d’une journée.
On constate que la valeur approchée arrondie à 10-3 près de la moyenne de cet échantillon est = 4,012.
a. à partir des informations portant sur cet échantillon, donner une estimation ponctuelle, à 10-3 près, de la moyenne µ des diamètres des pièces P2 produites pendant cette journée.
b. Déterminer un intervalle de confiance centré en de la moyenne µ des diamètres des pièces P2 produites pendant la journée considérée, avec le coefficient de confiance de 95%.
c. On considère l’affirmation suivante :
" la moyenne µ est obligatoirement entre 3,991 et 4,033 ".
Peut-on déduire de ce qui précède qu’elle est vraie ?