Exercice 1 : ( 9
points ) Production industrielle et contrôle de qualité
Les quatres
questions de cet exercice sont indépendantes.
Une entreprise de matériel pour lindustrie produit
des modules constitués de deux types de pièces : P1
et P2.
1. Une pièce P1 est considérée
comme bonne si sa longueur, en centimètres, est comprise
entre 293,5 et 306,5. On note L la variable aléatoire qui,
à chaque pièce P1 choisie au hasard dans
la production dune journée, associe sa longueur.
On suppose que L suit une loi normale de moyenne 300 et décart
type 3.
Déterminer, à 10-2 près, la probabilité
quune pièce P1 soit bonne.
2. On note A lévénement :
" une pièce P1 choisie au hasard dans la
production des pièces P1 est défectueuse"
On note de même B lévénement :
" une pièce P2 choisie au hasard dans la
production des pièces P2 est défectueuse
".
On admet que les probabilités des deux événements
A et B sont
p(A) = 0,03 et p(B) = 0,07 et on suppose que ces deux événements
sont indépendants.
Un module étant choisi au hasard dans la production, calculer,
à 10-4 près, la probabilité de chacun
des événements
suivants :
E1 : " les deux pièces du module sont défectueuses
" ,
E2 : " au moins une des deux pièces du module
est défectueuses " ,
E3 : " aucune des deux pièces constituant
le module nest défectueuse " ,
3. Dans un important stock de ces modules, on prélève
au hasard 10 modules pour vérification. Le stock est assez
important pour quon puisse assimiler ce prélèvement
à un tirage avec remise de 10 modules.
On considère la variable aléatoire X qui, à
tout prélèvement de 10 modules associe le nombre de
modules réalisant lévénement E3
défini au 2.
On suppose que la probabilité de lévénement
E3 est 0,902.
a. Expliquer pourquoi X suit une loi binômiale , déterminer
les paramètres de cette loi.
b. Calculer, à 10-3 près, la probabilité
que, dans un tel prélèvement, 9 modules au moins réalisent
lévénement E3.
4. Dans cette question on sintéresse au diamètre
des pièces P2.
Soit
la variable aléatoire qui, à tout échantillon
de 60 pièces P2 prélevées au hasard
et avec remise dans la production de la journée considérée,
associe la moyenne des diamètres des pièces de cet
échantillon. On suppose que
suit la loi normale : de moyenne inconnue µ et décart
type /
avec = 0,084.
On mesure le diamètre, exprimé en centimètres,
de chacune des 60 pièces P2 dun échantillon
choisi au hasard et avec remise dans la production dune journée.
On constate que la valeur approchée arrondie à 10-3
près de la moyenne
de cet échantillon est
= 4,012.
a. à partir des informations portant sur cet échantillon,
donner une estimation ponctuelle, à 10-3 près,
de la moyenne µ des diamètres des pièces P2
produites pendant cette journée.
b. Déterminer un intervalle de confiance centré
en de la moyenne
µ des diamètres des pièces P2 produites
pendant la journée considérée, avec le coefficient
de confiance de 95%.
c. On considère laffirmation suivante :
" la moyenne µ est obligatoirement entre 3,991 et 4,033
".
Peut-on déduire de ce qui précède quelle
est vraie ?