C'est par l'étude des équations du troisième degré que les algébristes italiens du 16 ème siècle introduisent les nombres complexes qu'ils vont appeler au début nombres "impossibles". Ils vont écrire des symboles tels que ou a est un réels strictement positif.Soit l'équation du troisième degré : x3 +bx2 + cx+ d = 0 (Voir méthode générale de résolution ) Cette équation se transforme enX3 +pX + q = 0 ( voir méthode générale de résolution)En faisant le changement de variable : X = x + b/3Ensuite, on fait un nouveau changement de variable en posant X = u + v , on obtient u3 + v3 + (3uv + p)(u + v) + q = 0 Le changement de variable X = u + v laisse une liberté pour le choix d'une des variables u ou v, on peut donc imposer que 3uv + p = 0 . On obtient deux conditions : Les nombres u3 et v3 sont les solutions de l'équation du second degré : ( voir propriétés des racines d'un polynôme du second degré ) Cette équation admet des solutions dans le cas ou sont discriminant : ce qui se produit si 27q² + 4 p3 est positif. ce dernier nombre est en quelque sorte un discriminant . ce qui conduit à dans ce cas : il en résulte donc la très esthétique formule de Cardan : Exemple avec l'équation x3 + x2 + x+ = 0 Vous pouvez essayer avec d'autres équations, c'est ce qu'on fait les algébriste Italiens du 16 ème siècle ils ont vu que certaines équations admettaient pourtant des solutions comme par exemple l'équation x3 +6x2 - 3x - 26 = 0 qui admet 2, comme solution maisle discriminant est négatif. La notation sera finalement remplacée par le nombre i et j en sciences physiques ( le problème est que le nombre j en maths est le nombre complexe : j est en maths une des racines cubiques de l'unité c'est à dire j3 =1, les autres racines de l'unité sont 1 et j² ) En appliquant les règles algébriques habituelles avec Bombelli, l'un des algébristes remarque que :Il peut alors résoudre l'équation X3 - 15X - 4 = 0 en appliquant la formule de Cardan et les résultats précédents. En utilisant la formule de Cardan C'est à dire 4 est une solution de l'équation X3 - 15X - 4 = 0 ( 4 est une racine du polynôme X3 - 15X - 4 )