équation cartésienne d'un cercle dans le plan

Comment déterminer l'équation d'un cercle

Dans le plan muni d'un repère orthonormé , considérons le cercle de centre ( a; b) et de rayon r , le cercle étant l'ensemble des points M situé à une distance de r du centre ( a; b), on a :

Cette équation est appelée équation cartésienne du cercle dans le repère

On peut aussi déterminer l'équation d'un cercle, connaissant un de ces diamètres, si on vous demande de déterminer l'équation du cercle de diamètre [AB] il suffira d'utiliser :

M(x ; y) cercle de diamétre [AB]
AMB est un triangle rectangle
les vecteurs (x - xA; y - yA) et (x - xB; y - yB) sont orthogonaux
(x - xA)(x - xB) + ( y - yA) ( y - yB) = 0
et on arrive après quelques transformations à une équation de la forme
(x - a)² + (y - b)² = r²

Réciproquement : une équation à deux inconnues qui est équivalente à une équation de la forme
(x - a)² + (y - b)² = r² où a et b sont des constantes réelles est l'équation d'un cercle.
Exemple :
on considère l'équation
x² - 4x + y² - 6y - 12 = 0
on met sous la forme canonique les deux polynômes x² - 4x et y² - 6y
x² - 4x + 4 - 4 + y² - 6y + 9 - 9 -12 = 0
(x - 2)² - 4 + (y - 3)² - 9 - 12 = 0
(x -2)² + (y -3)² = 25
qui est l'équation du cercle de centre de coordonnée (2 ; 3) et de rayon 5.

Exemples paramétrables