Comment déterminer l'équation d'un cercle
Dans le plan muni d'un repère orthonormé , considérons le cercle de centre ( a; b) et de rayon r , le cercle étant l'ensemble des points M situé à une distance de r du centre ( a; b), on a :
Cette équation est appelée équation cartésienne du cercle dans le repère
On peut aussi déterminer l'équation d'un cercle, connaissant
un de ces diamètres, si on vous demande de déterminer l'équation
du cercle de diamètre [AB] il suffira d'utiliser :
M(x ; y)
cercle de diamétre [AB]
AMB est un triangle rectangle
les vecteurs (x
- xA; y - yA) et
(x - xB; y - yB) sont orthogonaux
(x - xA)(x - xB) + ( y - yA)
( y - yB) = 0
et on arrive après quelques transformations à une équation
de la forme
(x - a)² + (y - b)² = r²
Réciproquement : une équation à deux inconnues
qui est équivalente à une équation de la forme
(x - a)² + (y - b)² = r² où a et b
sont des constantes réelles est l'équation d'un cercle.
Exemple :
on considère l'équation
x² - 4x + y² - 6y - 12 = 0
on met sous la forme canonique
les deux polynômes x² - 4x et y² - 6y
x² - 4x + 4 - 4 + y² - 6y + 9 -
9 -12 = 0
(x - 2)² - 4 + (y - 3)² - 9 - 12 = 0
(x -2)² + (y -3)² = 25
qui est l'équation du cercle de centre de coordonnée (2
; 3) et de rayon 5.