axe de symétrie et centre de symétrie d'une courbe représentative

Considérons la courbe C d'équation y = f(x) dans un repère ou f est une fonction .

Comment montrer que cette courbe admet le point de coordonnées O' ( a ; b) comme centre de symétrie ?

• Soit en effectuant un changement de repère par translation de vecteur et en montrant que l'équation obtenue de la forme Y = g(X) ou g est une fonction impaire.
• Soit en montrant que le symétrique de tout point de la courbe C par rapport au point O' appartient encore à C :
  f(a - x) + f(a + x) = 2b pour tout réel x tel que a + x et a - x appartiennent à l'ensemble de définition de D_f
  

Comment montrer que cette courbe admet la droite d'équation x = a comme axe de symétrie ?

• Soit en effectuant un changement de repère par translation de vecteur ou O' est un point d'abscisse a et d'ordonnée quelconque ( vous pouvez prendre 0 par exemple ) et en montrant que l'équation obtenue de la forme Y = g(X) ou g est une fonction paire.
• Soit en montrant que le symétrique de tout point de la courbe C par rapport à la droite d'équation x = a appartient encore à C :
  f(a - x) = f(a + x) pour tout réel x tel que a + x et a - x appartiennent à l'ensemble de définition de D_f