commensurabilité et algorithme d'Euclide

On considère un rectangle de dimension : x , on veut construire un pavage de ce rectangle avec des carrés identiques de tailles les plus grandes possibles. Soit c la longueur du côté de ce carré, il faut que les dimensions a et b deux ce rectangle soient telles que les nombres a/c et b/c soient des entiers naturels et que c soit le plus grand possible.

• Si a et b sont tous les deux des entiers naturels, c devra diviser à la fois a et b et être le plus grand possible, c'est à dire que c est dans ce cas le pgcd des nombres a et b.
• Si a et b sont des rationnels non entiers, le problème se ramène au cas précédent, puisque les nombres a et b peuvent s'écrire avec le même dénominateur en posant :
  
  ( a et b sont sous la forme irréductible, n est le ppcm plus petit multiple commun de q et q' )
  le nombre c est alors tel que nc est le pgcd de na et de nb en effet :
  
  et c = pgcd(na,nb)/n est le plus grand possible.